A existência de decomposição L U de uma matriz A tem alguma relação com a existência de solução do sistema A X=B ? Justifique, com exemplos se necessário.

Passo 1

O enunciado pergunta se o fato de uma matriz A admitir uma decomposição A=LU sem permutações (pivotamento) tem alguma relação com a existência (e unicidade) da solução do sistema
A\,X = B.
O conteúdo envolvido é fatoração LU, condições de existência dessa fatoração e a conexão com invertibilidade de A. Para resolver, vamos:
  1. lembrar como se usa LU para resolver sistemas;
  2. discutir quando a decomposição existe (condição dos menores principais);
  3. conectar isso à invertibilidade e à existência/uniquidade da solução;
  4. dar exemplos ilustrativos.

Passo 2

Suponha que A=LU com
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0\\\ \ell_{21}&1 & \cdots & 0\\\ \vdots &\vdots & \ddots &\vdots\\\ \ell_{n1}&\ell_{n2}&\cdots &1 \end{pmatrix}, \quad U=\begin{pmatrix} u_{11}&u_{12}&\cdots&u_{1n}\\\\ 0 &u_{22}&\cdots&u_{2n}\\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\\ 0 &0 &\cdots&u_{nn} \end{pmatrix}.
Então para resolver A\,X=B fazemos em duas etapas:
  1. resolver L\,Y = B por substituição progressiva (sempre possível pois todos os pivôs de L são 1);
  2. resolver U\,X = Y por substituição regressiva, o que exige que todos os u_{ii}\neq 0.

Passo 3

A fatoração A=LU sem pivotamento existe se, e somente se, todos os menores principais (determinantes das submatrizes superiores esquerdas) de ordem 1,2,\dots,n forem não nulos. Em particular, isso garante que
u_{11}\neq0,\quad \det\begin{pmatrix}u_{11}&u_{12}\\\ 0&u_{22}\end{pmatrix}\neq0,\;\dots,\; \det(U)=u_{11}u_{22}\cdots u_{nn}\neq0.
Como \det(A)=\det(L)\det(U)=1\cdot\det(U), concluímos que A é invertível.

Passo 4

Se A=LU existe sem pivotamento, então U tem todos os pivôs não nulos, logo A é inversível e o sistema A\,X=B tem solução única para todo vetor B.

Passo 5

Por outro lado, a existência de solução única para todo B significa que A é invertível. Mas nem toda matriz invertível admite fatoração LU sem trocar linhas. Exemplo clássico:
A = \begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix}.
Aqui \det(A)=-1\neq0, logo o sistema sempre tem solução única, mas ao aplicar a eliminação sem permutar linhas o pivô inicial a_{11}=0 impede a construção de L e U sem trocar linhas.

Passo 6

Também vale dizer que, se A for singular \det(A)=0, não há como ter u_{ii}\neq0 para todos i; ou seja, a eliminação gera um pivô zero em alguma etapa e nem sempre existe fatoração LU. Nesses casos o sistema pode não ter solução ou ter infinitas soluções.

Resposta

A existência de LU sem pivotamento implica que todos os pivôs são não nulos, logo \det(A)\neq0 e o sistema A\,X=B tem solução única para qualquer B. Inversamente, se A é invertível, o sistema tem solução única, mas pode ser necessário pivotar (trocar linhas) para obter a fatoração A=PLU. Portanto, fatoração LU sem permutações ⇔ todos os menores principais de A são não nulos ⇔ A invertível ⇔ solução única de A\,X=B.

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