A existência de decomposição L U de uma matriz A tem alguma relação com a existência de solução do sistema A X=B ? Justifique, com exemplos se necessário.
Passo 1
O enunciado pergunta se o fato de uma matriz A admitir uma decomposição A=LU sem permutações (pivotamento) tem alguma relação com a existência (e unicidade) da solução do sistema
A\,X = B.
O conteúdo envolvido é fatoração LU, condições de existência dessa fatoração e a conexão com invertibilidade de A. Para resolver, vamos:
lembrar como se usa LU para resolver sistemas;
discutir quando a decomposição existe (condição dos menores principais);
conectar isso à invertibilidade e à existência/uniquidade da solução;
Então para resolver A\,X=B fazemos em duas etapas:
resolver L\,Y = B por substituição progressiva (sempre possível pois todos os pivôs de L são 1);
resolver U\,X = Y por substituição regressiva, o que exige que todos os u_{ii}\neq 0.
Passo 3
A fatoração A=LU sem pivotamento existe se, e somente se, todos os menores principais (determinantes das submatrizes superiores esquerdas) de ordem 1,2,\dots,n forem não nulos. Em particular, isso garante que
Como \det(A)=\det(L)\det(U)=1\cdot\det(U), concluímos que A é invertível.
Passo 4
Se A=LU existe sem pivotamento, então U tem todos os pivôs não nulos, logo A é inversível e o sistema A\,X=B tem solução única para todo vetor B.
Passo 5
Por outro lado, a existência de solução única para todo B significa que A é invertível. Mas nem toda matriz invertível admite fatoração LU sem trocar linhas. Exemplo clássico:
A = \begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix}.
Aqui \det(A)=-1\neq0, logo o sistema sempre tem solução única, mas ao aplicar a eliminação sem permutar linhas o pivô inicial a_{11}=0 impede a construção de L e U sem trocar linhas.
Passo 6
Também vale dizer que, se A for singular \det(A)=0, não há como ter u_{ii}\neq0 para todos i; ou seja, a eliminação gera um pivô zero em alguma etapa e nem sempre existe fatoração LU. Nesses casos o sistema pode não ter solução ou ter infinitas soluções.
Resposta
A existência de LU sem pivotamento implica que todos os pivôs são não nulos, logo \det(A)\neq0 e o sistema A\,X=B tem solução única para qualquer B. Inversamente, se A é invertível, o sistema tem solução única, mas pode ser necessário pivotar (trocar linhas) para obter a fatoração A=PLU. Portanto, fatoração LU sem permutações ⇔ todos os menores principais de A são não nulos ⇔ A invertível ⇔ solução única de A\,X=B.