Indique as condições sobre a, b, c, e d para que se possa aplicar o método de Gauss para resolver o sistema A X=B, onde
A=\left[\begin{array}{ccc} a & 0 & b \\\\ 0 & d & 0 \\\ c & 0 & b / a \end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{l} a \\\ e \\\\ 1 \end{array}\right]
Resolva o sistema nessas condições.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o método de Gauss ao sistema A X = B, onde
A = \begin{pmatrix} a & 0 & b\\[6pt] 0 & d & 0\\[6pt] c & 0 & \tfrac{b}{a} \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} a\\[3pt] e\\[3pt] 1 \end{pmatrix}.
Precisamos garantir que, em cada etapa da eliminação, o pivô seja não nulo e então encontrar x_1,x_2,x_3.]

Passo 2

Para usar Gauss sem trocar linhas, os pivôs na coluna 1, 2 e 3 devem ser não nulos:
  1. O pivô na linha 1, coluna 1 é a, logo precisamos de a \neq 0. 2. Após zerar o elemento (3,1), o pivô na linha 2, coluna 2 é d, logo d \neq 0. 3. O pivô final na linha 3, coluna 3 é
\frac{b(a - c)}{a^2},
logo exigimos
b(a - c)\neq 0,
ou seja, b\neq 0 e a\neq c.

Passo 3

Eliminamos o elemento c de (3,1) usando a linha 1:
a nova equação 3 é
\text{(linha 3)} - \frac{c}{a}\,\text{(linha 1)} \;\Longrightarrow\; \frac{b(a-c)}{a^2}\,x_3 \;=\; 1 - \frac{c}{a}\,a \;=\; 1 - c.

Passo 4

Da equação obtida no passo anterior tiramos
x_3 \;=\;\frac{a^2(1 - c)}{b\,(a - c)}.
A equação 2 original é d\,x_2 = e, logo
x_2 = \frac{e}{d}.

Passo 5

Finalmente, da equação 1, a\,x_1 + b\,x_3 = a, temos
x_1 = \frac{a - b\,x_3}{a} = 1 - \frac{b}{a}\,\frac{a^2(1-c)}{b(a-c)} = \frac{c(a-1)}{\,a - c\,}.

Resposta

Condições para aplicar Gauss:
a \neq 0,\quad d \neq 0,\quad b \neq 0,\quad a \neq c.
Solução do sistema nessas condições:
x_1 = \frac{c(a-1)}{a - c}, \quad x_2 = \frac{e}{d}, \quad x_3 = \frac{a^2(1 - c)}{b\,(a - c)}.

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