\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan 4 x}{\sin 8 x}

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\tan(4x)}{\sin(8x)}.
O conteúdo é limites de funções trigonométricas para pequenos ângulos, usando os resultados \displaystyle \lim_{u\to0}\frac{\tan u}{u}=1 e \displaystyle \lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1.

Passo 2

Vamos reescrever o quociente de modo a aproveitar esses limites:
\frac{\tan(4x)}{\sin(8x)} = \frac{\tan(4x)}{4x}\;\cdot\;\frac{4x}{8x}\;\cdot\;\frac{8x}{\sin(8x)}.
• Para x\to0 temos \displaystyle \frac{\tan(4x)}{4x}\to1, pois \tan u/u\to1.
• O fator intermédio \displaystyle \frac{4x}{8x}=\frac{4}{8}=\frac12 é constante.
• Para x\to0 temos \displaystyle \frac{8x}{\sin(8x)}\to1, pois \sin u/u\to1.
Multiplicando os três fatores:
1\;\times\;\frac12\;\times\;1 \;=\;\frac12.

Resposta

\displaystyle \frac12

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