Indique condições suficientes sobre os coeficientes da matria abaixo para garantir a convergência do método iterativo de Gauss-Seidel (a matria a ser invertida é triangular inferior).
A=\left[\begin{array}{ll} a & b \\\ c & d \end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede condições suficientes sobre os coeficientes da matriz
A = \begin{pmatrix} a & b\\[6pt] c & d \end{pmatrix}
para que o método de Gauss–Seidel converja.
Conteúdo: o método de Gauss–Seidel usa a partição
A = D + L + U
onde D é a diagonal, L a parte estritamente triangular inferior e U a parte estritamente triangular superior. A iteração é
x^{(k+1)} = -(D+L)^{-1} U\,x^{(k)} + (D+L)^{-1}b
e converge se \rho\bigl(G\bigr)<1, onde
G = -(D+L)^{-1}U.]
Passo 2
Identificamos para 2\times 2:
D = \begin{pmatrix}a&0\\\ 0&d\end{pmatrix},\quad L = \begin{pmatrix}0&0\c&0\end{pmatrix},\quad U = \begin{pmatrix}0&b\\\ 0&0\end{pmatrix}.
Temos que D+L é triangular inferior, invertível se e só se a\neq0 e d\neq0.
Passo 3
Calculamos (D+L)^{-1}. Para matriz triangular inferior 2\times 2 vale