Indique condições suficientes sobre os coeficientes da matria abaixo para garantir a convergência do método iterativo de Gauss-Seidel (a matria a ser invertida é triangular inferior).
A=\left[\begin{array}{ll} a & b \\\ c & d \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede condições suficientes sobre os coeficientes da matriz
A = \begin{pmatrix} a & b\\[6pt] c & d \end{pmatrix}
para que o método de Gauss–Seidel converja.
Conteúdo: o método de Gauss–Seidel usa a partição
A = D + L + U
onde D é a diagonal, L a parte estritamente triangular inferior e U a parte estritamente triangular superior. A iteração é
x^{(k+1)} = -(D+L)^{-1} U\,x^{(k)} + (D+L)^{-1}b
e converge se \rho\bigl(G\bigr)<1, onde
G = -(D+L)^{-1}U.]

Passo 2

Identificamos para 2\times 2:
D = \begin{pmatrix}a&0\\\ 0&d\end{pmatrix},\quad L = \begin{pmatrix}0&0\c&0\end{pmatrix},\quad U = \begin{pmatrix}0&b\\\ 0&0\end{pmatrix}.
Temos que D+L é triangular inferior, invertível se e só se a\neq0 e d\neq0.

Passo 3

Calculamos (D+L)^{-1}. Para matriz triangular inferior 2\times 2 vale
(D+L)^{-1} =\begin{pmatrix}a&0\c&d\end{pmatrix}^{-1} =\begin{pmatrix} \dfrac1a & 0\\[8pt] -\dfrac{c}{ad} & \dfrac1d \end{pmatrix}.
Então
G = -(D+L)^{-1}U =-\begin{pmatrix} \dfrac1a & 0\\[6pt] -\dfrac{c}{ad} & \dfrac1d \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&b\\[3pt]0&0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & -\dfrac{b}{a}\\[8pt] 0 & \dfrac{cb}{ad} \end{pmatrix}.]

Passo 4

O polinômio característico de G em 2\times 2 triangular é
\lambda_1 = 0,\qquad \lambda_2 = \frac{c\,b}{a\,d}.
Assim a condição de convergência \rho(G)<1 torna‐se
\left|\frac{b\,c}{a\,d}\right|<1,
além de exigir a\neq0 e d\neq0 para que (D+L) seja invertível.

Passo 5

Conclusão: condições suficientes para convergência de Gauss–Seidel são
a \neq 0,\quad d \neq 0,\quad \text{e}\quad \left|\frac{b\,c}{a\,d}\right|<1.
Em particular, uma hipótese mais simples e bastante usada é a de dominância diagonal estrita por linhas:
|a| > |b| \quad\text{e}\quad |d| > |c|,
que garante automaticamente \bigl|bc/(ad)\bigr|<1.

Resposta

a\neq0,\quad d\neq0,\quad\bigl|bc/(ad)\bigr|<1 (suficiente para convergência).

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