Escreva a forma da decomposição em frações parciais para as seguintes funções racionais.
s(s+1)(s-2) s

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa decompor a função racional s(s+1)(s-2)s em frações parciais. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra, mais especificamente no estudo de frações parciais. Para resolver isso, vamos precisar identificar os fatores do denominador e expressar a função como soma de frações mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de forma mais clara:
ss(s+1)(s-2)
Aqui, o denominador já está fatorado em três partes: s, s+1 e s-2. Como todos os fatores são lineares e distintos, a decomposição em frações parciais vai ter a forma:
ss(s+1)(s-2) = As + Bs+1 + Cs-2
Onde A, B e C são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da igualdade por s(s+1)(s-2):
s = A(s+1)(s-2) + B(s)(s-2) + C(s)(s+1)

Passo 4

Para encontrar as constantes A, B e C, podemos escolher valores de s que simplifiquem a equação. Vamos escolher valores que anulam alguns termos:
  1. Quando s = 0:
0 = A(0+1)(0-2) + B(0)(0-2) + C(0)(0+1)
0 = A(1)(-2) + 0 + 0 Rightarrow -2A = 0 Rightarrow A = 0
  1. Quando s = -1:
-1 = A(-1+1)(-1-2) + B(-1)(-1-2) + C(-1)(-1+1)
-1 = A(0)(-3) + B(-1)(-3) + C(-1)(0) Rightarrow 3B = -1 Rightarrow B = -13
  1. Quando s = 2:
2 = A(2+1)(2-2) + B(2)(2-2) + C(2)(2+1)
2 = A(3)(0) + B(2)(0) + C(2)(3) Rightarrow 6C = 2 Rightarrow C = 13

Passo 5

Agora que encontramos os valores de A, B e C, podemos substituir de volta na expressão das frações parciais:
ss(s+1)(s-2) = 0s + -13s+1 + 13s-2
Simplificando, fica:
ss(s+1)(s-2) = -13(s+1) + 13(s-2)

Resposta

A decomposição em frações parciais da função s(s+1)(s-2)s é:
s(s+1)(s-2)s = -13(s+1) + 13(s-2)

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