Expanda f(z)=1z(z-3) em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado.
|z-3|>3

Passo 1

O exercício pede para expandir f(z)=1z(z-3) em uma série de Laurent centrada em z=3, válida no anel |z-3|>3. Vamos usar conceitos de série de Laurent e de série geométrica.

Passo 2

Definimos t=z-3. Assim podemos escrever
f(z)=1z(z-3)=1(t+3)t=13t,(1+tfract3)

Passo 3

Para a região |t|>3, temos l|tfract3r|>1. Reescrevemos
11+tfract3=tfrac3t1+tfrac3t,
permitindo expandir em potências de tfrac3t quando l|tfrac3tr|<1.

Passo 4

Aplicamos a série geométrica 11+u=sumn=0^infty(-1)^n u^n com u=tfrac3t. Assim
11+tfrac3t=sumn=0^infty(-1)^nl(3tr)^n
para |t|>3. Substituindo em f(z):
f(z)=13tcdot3tsumn=0^infty(-1)^nl(3tr)^n =1t^2sumn=0^infty(-1)^nl(3tr)^n =sumn=0^infty(-1)^n3^nt^n+2

Passo 5

Bastando agora voltar à variável original z por t=z-3, temos a forma da série de Laurent centrada em z=3 válida para |z-3|>3.

Resposta

f(z)=sumn=0^infty(-1)^n3^n(z-3)^n+2, |z-3|>3

Exercícios relacionados