Encontre uma fórmula para o termo geral da sequiência , supondo que o padrão dos primeiros termos se repita:

Passo 1

O enunciado pede para achar o termo geral da sequência (an)ninN cujos primeiros termos são tfrac12,tfrac37,tfrac38,tfrac13,dots assumindo que esse padrão volta a se repetir indefinidamente. O conteúdo principal aqui é sequência periódica de período fixo e congruência módulo.

Passo 2

Observando os valores, notamos que após os quatro primeiros termos o mesmo padrão reaparece: a1=tfrac12, a2=tfrac37, a3=tfrac38, a4=tfrac13 e então a5=tfrac12, a6=tfrac37 etc. Logo, o período da sequência é 4.

Passo 3

Para descobrir qual termo do ciclo corresponde a um dado an, usamos a congruência de n módulo 4. Os possíveis restos de dividir n por 4 são 0, 1, 2 e 3, e cada um deles mapeia para um dos quatro valores do padrão.

Passo 4

Com base nisso, montamos a fórmula geral como uma definição por partes, relacionando cada classe de resto ao valor correspondente do ciclo.

Resposta

[
a_n = tfrac12, & se nequiv1pmod4, tfrac37, & se nequiv2pmod4, tfrac38, & se nequiv3pmod4, tfrac13, & se nequiv0pmod4
]

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