Expanda a função dada em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado.
f(z)=cos zz, 0<|z|

Passo 1

O enunciado pede a expansão de Laurent de f(z)=cos(z)/z em torno de z=0, válida para 0<|z|<∞. Vamos usar a série de Maclaurin de cos(z) e depois dividir por z.

Passo 2

A série de Maclaurin de cos(z) é dada por:
cos z = sumn=0^infty (-1)^n z^2n(2n)!
Dividindo termo a termo por z, obtemos a série de Laurent de f(z):
cos zz = sumn=0^infty (-1)^n z^2n-1(2n)!
Para ver explicitamente alguns termos,
cos zz = z^-1 - z2! + z^34! - z^56! + cdots

Resposta

cos zz = sumn=0^infty (-1)^n(2n)!,z^2n-1, 0<|z|

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