Expanda a função dada em uma série de Taylor centrada no ponto z0 indicado. Dê o raio de convergência R de cada série.
f(z)=13-z, z0=2 i

Passo 1

O enunciado pede para expandir a função f(z)=13-z em série de Taylor centrada em z0=2i e determinar o raio de convergência R. Vamos usar a ideia de transformar em série geométrica.

Passo 2

Definimos w=z-2i, então z=w+2i. Substituindo em f:
f(z)=13-(w+2i)=1(3-2i)-w=13-2icdot11-w3-2i

Passo 3

Da teoria de séries geométricas sabemos que 11-u=sumn=0^inftyu^n para |u|<1. Aqui temos u=w3-2i, logo:
f(z)=13-2isumn=0^inftyl(w3-2ir)^n=sumn=0^inftyw^n(3-2i)^n+1

Passo 4

Voltando a w=z-2i, obtemos a expansão final:
f(z)=sumn=0^infty(z-2i)^n(3-2i)^n+1

Passo 5

A condição de convergência é l|tfracw3-2ir|<1, ou seja |z-2i|<|3-2i|=raiz13. Portanto o raio de convergência é R=raiz13.

Resposta

f(z)=sumn=0^infty(z-2i)^n(3-2i)^n+1
e R=raiz13.

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