Expanda a função dada em uma série de Taylor centrada no ponto indicado. Dê o raio de convergência de cada série.
Passo 1
O enunciado pede para expandir a função em série de Taylor centrada em e determinar o raio de convergência . Vamos usar a ideia de transformar em série geométrica.
Passo 2
Definimos , então . Substituindo em :
Passo 3
Da teoria de séries geométricas sabemos que para . Aqui temos , logo:
Passo 4
Voltando a , obtemos a expansão final:
Passo 5
A condição de convergência é , ou seja |z-2i|<|3-2i|=raiz13. Portanto o raio de convergência é R=raiz13.