Expanda a função dada em uma série de Taylor centrada no ponto
indicado. Dê o raio de convergência
de cada série.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos expandir em série de Taylor a função
centrada em
e determinar o raio de convergência
. Vamos usar séries geométricas para isso.
Passo 2
Reescrevendo
num formato de série geométrica: note que
Aplicando a fórmula da série geométrica
Multiplicando por
obtemos a expansão de Taylor:
Passo 3
Determinando o raio de convergência: a série geométrica exige
, ou seja
, daí
Portanto o raio de convergência é
.
Resposta
A expansão de Taylor em torno de
é
, e o raio de convergência é
.