Expanda a função dada em uma série de Taylor centrada no ponto z0 indicado. Dê o raio de convergência R de cada série.
f(z)=zz^4+4, z0=0

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos expandir em série de Taylor a função f(z)=zz^4+4 centrada em z0=0 e determinar o raio de convergência R. Vamos usar séries geométricas para isso.

Passo 2

Reescrevendo f(z) num formato de série geométrica: note que
zz^4+4=z4l(1+tfracz^44r)=z4cdot11+tfracz^44
Aplicando a fórmula da série geométrica 11+w=sumn=0^infty(-1)^n w^n válida quando |w|<1. Aqui w=tfracz^44, logo
11+tfracz^44=sumn=0^infty(-1)^nl(tfracz^44r)^n
Multiplicando por z/4 obtemos a expansão de Taylor:
f(z)=z4sumn=0^infty(-1)^nl(tfracz^44r)^n=sumn=0^infty(-1)^n4^n+1,z^4n+1

Passo 3

Determinando o raio de convergência: a série geométrica exige |w|<1, ou seja |z|^4<4, daí
|z|<4^1/4
Portanto o raio de convergência é R=4^1/4.

Resposta

A expansão de Taylor em torno de z0=0 é sumn=0^infty(-1)^n4^n+1,z^4n+1, e o raio de convergência é R=4^1/4.

Exercícios relacionados