Expanda a função dada em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado.
f(z)=1z(z-3), 0<|z-3|<3

Passo 1

O exercício pede para desenvolver a função f(z)=1z(z-3) em uma série de Laurent centrada em z=3, válida no anel 0<|z-3|<3. Vamos usar o conceito de expansão em série geométrica para obter termos de potências positivas e negativas de w=z-3.

Passo 2

Primeiro, fazemos a mudança de variável w=z-3, assim z=w+3. Esse deslocamento centra a expansão em w=0.
Reescrevendo f em função de w:
f(z)=1(w+3),w=1wcdot1w+3=1wcdot13l(1+w3r)=13wcdot11+w3

Passo 3

Agora aplicamos a série geométrica para 11+u=sumn=0^infty(-1)^n u^n, válida para |u|<1. Aqui u=w3 e a condição |w|<3 é satisfeita no anel dado.
Substituindo a expansão geométrica em f:
11+w3=sumn=0^infty(-1)^nl(tfracw3r)^n e portanto
f(z)=13wsumn=0^infty(-1)^nw^n3^n= sumn=0^infty(-1)^nw^n-13^n+1

Passo 4

Para enfatizar o formato de Laurent, podemos reindexar colocando m=n-1, de modo que m varia de -1 a +infty. Assim
f(z)=summ=-1^infty(-1)^m+1(z-3)^m3^m+2

Passo 5

Se quisermos os primeiros termos explícitos, obtemos:
f(z)=13(z-3)^-1-19+z-327-(z-3)^281+cdots

Resposta

f(z)=summ=-1^infty(-1)^m+1(z-3)^m3^m+2, 0<|z-3|<3

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