Expanda a função dada em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado.
Passo 1
O exercício pede para desenvolver a função
em uma série de Laurent centrada em
, válida no anel
. Vamos usar o conceito de expansão em série geométrica para obter termos de potências positivas e negativas de
.
Passo 2
Primeiro, fazemos a mudança de variável
, assim
. Esse deslocamento centra a expansão em
.
Reescrevendo em função de
:
Reescrevendo
Passo 3
Agora aplicamos a série geométrica para
, válida para
. Aqui
e a condição
é satisfeita no anel dado.
Substituindo a expansão geométrica em :
Substituindo a expansão geométrica em
Passo 4
Para enfatizar o formato de Laurent, podemos reindexar colocando
, de modo que
varia de
a
. Assim
Passo 5
Se quisermos os primeiros termos explícitos, obtemos: