Expanda a função dada em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado.
f(z)=1z(z-3), 1<|z-4|<4

Passo 1

A função é f(z)=1/[z(z-3)] e queremos sua expansão de Laurent em torno de z=4, válida para o anel 1<|z-4|<4. O conteúdo aqui é série de Laurent: vamos usar frações parciais e séries geométricas para obter termos positivos e negativos em w=z-4.

Passo 2

Trocar de variável para centralizar em z=4. Definimos
w = z - 4,
assim
f(z)=1(w+4)(w+1)

Passo 3

Fazer decomposição em frações parciais:
1(w+4)(w+1) = Aw+4+Bw+1
Igualando numeradores obtemos
1=A(w+1)+B(w+4)
Tomando w=-1 B=1/3 e w=-4 A=-1/3. Logo
f(z)=-131w+4+131w+1

Passo 4

Expandir 1/(w+4) como série geométrica em potências positivas de w, válida para |w|<4:
1w+4=1411+(w/4) =14sumn=0^infty(-1)^nl(w4r)^n =sumn=0^infty(-1)^nw^n4^n+1
Multiplicando por -1/3 teremos os termos de potências não-negativas.

Passo 5

Expandir 1/(w+1) como série geométrica em potências negativas de w, válida para |w|>1:
1w+1=1w11+(1/w) =1wsumm=0^infty(-1)^m1w^m =summ=0^infty(-1)^m w^-m-1
Multiplicando por 1/3 teremos todos os termos de potências negativas.

Passo 6

Juntando as duas expansões obtemos a série de Laurent para 1<|w|<4 (isto é, 1<|z-4|<4):
f(z)=13summ=0^infty(-1)^m w^-m-1 -13sumn=0^infty(-1)^nw^n4^n+1,
onde w=z-4.

Resposta

Para w=z-4 e 1<|w|<4 temos
f(z)=13summ=0^infty(-1)^m w^-m-1 -13sumn=0^infty(-1)^nw^n4^n+1
Ou, reindexando a parte negativa com n=m+1:
f(z)=13sumn=1^infty(-1)^n-1(z-4)^-n -13sumn=0^infty(-1)^n(z-4)^n4^n+1

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