Expanda a função dada em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado.
Passo 1
A função é
e queremos sua expansão de Laurent em torno de
, válida para o anel
. O conteúdo aqui é série de Laurent: vamos usar frações parciais e séries geométricas para obter termos positivos e negativos em
.
Passo 2
Trocar de variável para centralizar em
. Definimos
assim
Passo 3
Fazer decomposição em frações parciais:
Igualando numeradores obtemos
Tomando
dá
e
dá
. Logo
Passo 4
Expandir
como série geométrica em potências positivas de
, válida para
:
Multiplicando por
teremos os termos de potências não-negativas.
Passo 5
Expandir
como série geométrica em potências negativas de
, válida para
:
Multiplicando por
teremos todos os termos de potências negativas.
Passo 6
Juntando as duas expansões obtemos a série de Laurent para
(isto é,
):
onde
.
Resposta
Para
e
temos
Ou, reindexando a parte negativa com
: