O número z0=0 é um zero da função f(z)=z(1-cos ^2 z). Use uma série de Maclaurin ou de Taylor para determinar a ordem do zero.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a ordem do zero em z₀=0 da função f(z)=z(1−cos²z). O conteúdo principal é séries de Taylor (Maclaurin) e multiplicidade de zeros de funções analíticas.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica para simplificar f(z). Como 1−cos²z=sin²z, temos f(z)=z·sin²z, e assim podemos expandir sin z em série para achar a potência mínima de z em f.

Passo 3

A série de Maclaurin de sin z é
sin z = z - z^36 + z^5120 + O(z^7)

Passo 4

Elevando ao quadrado e agrupando termos até ordem z⁵,
sin^2 z = l(z - z^36 + O(z^5)r)^2 = z^2 - 13z^4 + O(z^6)

Passo 5

Multiplicando por z, obtemos a expansão de f(z):
f(z) = zsin^2 z = z^3 - 13z^5 + O(z^7)

Passo 6

Como o termo de menor grau em f(z) é z³, concluímos que o zero em z=0 é de ordem 3.

Resposta

3

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