O número
é um zero da função
. Use uma série de Maclaurin ou de Taylor para determinar a ordem do zero.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a ordem do zero em z₀=0 da função f(z)=z(1−cos²z). O conteúdo principal é séries de Taylor (Maclaurin) e multiplicidade de zeros de funções analíticas.
Passo 2
Usamos a identidade trigonométrica para simplificar f(z). Como 1−cos²z=sin²z, temos f(z)=z·sin²z, e assim podemos expandir sin z em série para achar a potência mínima de z em f.
Passo 3
A série de Maclaurin de sin z é
Passo 4
Elevando ao quadrado e agrupando termos até ordem z⁵,
Passo 5
Multiplicando por z, obtemos a expansão de f(z):
Passo 6
Como o termo de menor grau em f(z) é z³, concluímos que o zero em z=0 é de ordem 3.
Resposta
3