Dada a função f(z)=1z^2(1-z), obtenha duas expansões em série de Laurent dela com potência de z. Determine as regiões de validade de cada uma das equações obtidas.

Passo 1

Temos a função f(z)=1z^2(1-z). O conteúdo aqui é série de Laurent em torno de z=0, e vamos precisar usar frações parciais para separar os termos singulares em z=0 e depois séries geométricas para expandir 1/(1−z) em diferentes regiões.

Passo 2

Vamos escrever f(z) em frações parciais. Procuramos constantes A,B,C tais que
1z^2(1-z)=Az+Bz^2+C1-z

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por z^2(1-z) e comparando coeficientes, obtemos A=B=C=1. Logo
f(z)=1z^2+1z+11-z

Passo 4

Para a região interna 0<|z|<1, usamos a série geométrica
11-z=sumn=0^inftyz^n,
então
f(z)=1z^2+1z+sumn=0^inftyz^n,
válida para |z|<1.

Passo 5

Para a região externa |z|>1, expandimos
11-z=-1zcdot11-1/z=-sumn=1^inftyz^-n,
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$$f(z)=\frac{1}{z{2}}+\frac{1}{z}-\sum_{n=1}{\infty}z^{-n}.
$$

Passo 6

Ao juntar os termos, as parcelas n=1 e n=2 na soma anulan-se com 1/z e 1/z^2, sobrando
f(z)=-sumn=3^inftyz^-n=-summ=0^inftyz^-m-3,
válida para |z|>1.

Resposta

Para 0<|z|<1:
$$f(z)=\frac{1}{z{2}}+\frac{1}{z}+\sum_{n=0}{\infty}z^{n}.
f(z)=1z^2+1z+sumn=0^inftyz^n f(z)=-\sum_{n=3}{\infty}z{-n}=-\sum_{m=0}{\infty}z{-m-3}.
$$

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