Dada a função
, obtenha duas expansões em série de Laurent dela com potência de
. Determine as regiões de validade de cada uma das equações obtidas.
Passo 1
Temos a função
. O conteúdo aqui é série de Laurent em torno de
, e vamos precisar usar frações parciais para separar os termos singulares em
e depois séries geométricas para expandir 1/(1−z) em diferentes regiões.
Passo 2
Vamos escrever
em frações parciais. Procuramos constantes
tais que
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
e comparando coeficientes, obtemos
. Logo
Passo 4
Para a região interna
, usamos a série geométrica
então
válida para
.
Passo 5
Para a região externa
, expandimos
logo
$$f(z)=\frac{1}{z{2}}+\frac{1}{z}-\sum_{n=1}{\infty}z^{-n}.
$$
Passo 6
Ao juntar os termos, as parcelas
e
na soma anulan-se com
e
, sobrando
válida para
Resposta
Para 0<|z|<1:
$$f(z)=\frac{1}{z{2}}+\frac{1}{z}+\sum_{n=0}{\infty}z^{n}.
$$