Use frações parciais para auxiliar a determinação da série de Maclaurin para f(z)= i(z-i)(z-2 i). Dê o raio de convergência R da série.

Passo 1

A gente quer desenvolver em série de Maclaurin a função f(z)=i(z-i)(z-2i). O conteúdo envolvido é: decomposição em frações parciais e expansão em séries geométricas. Vamos precisar escrever f(z) como soma de termos do tipo 1/(z-a) e depois usar a fórmula da série geométrica 1/(1-w)=sumn=0^inftyw^n.

Passo 2

Primeiro fazemos a decomposição em frações parciais. Suponha
i(z-i)(z-2i)=Az-i+Bz-2i Multiplicando ambos os lados por (z-i)(z-2i)
i=A(z-2i)+B(z-i) Para z=i obtemos i=A(i-2i)=-iA, logo A=-1. Para z=2i i=B(2i-i)=iB, então B=1. Assim
f(z)=-1z-i+1z-2i

Passo 3

Agora, expanda cada pedaço em torno de z=0. A parte -1/(z-i): reescrevo
1z-i=-1icdot11- ziLongrightarrow -1z-i=1isumn=0^inftyl( zir)^n Isso vale para |z|<|i|=1. Para a parte 1/(z-2i):
1z-2i=-12icdot11- z2i=-12isumn=0^inftyl( z2ir)^n, válido para |z|<|2i|=2.

Passo 4

Somando as duas séries term a term, encontramos
f(z)=sumn=0^inftyl[1il(1ir)^n-12il(12ir)^nr]z^n Podemos simplificar: 1/i=i^-1=-i e 1/(2i)=(-i)/2. Então
f(z)=sumn=0^inftyl[(-i)^n+1-l(-tfrac i2r)^n+1r]z^n

Passo 5

O raio de convergência é determinado pela menor distância de 0 até as singularidades (em i e 2i), ou seja R=1.

Resposta

f(z)=sumn=0^inftyl[(-i)^n+1-l(-tfraci2r)^n+1r],z^n, R=1

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