Expanda a função dada em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado.
Passo 1
O enunciado pede para expandir a função
numa série de Laurent válida para
. O conteúdo aqui é série de Laurent em torno de
, e vamos precisar usar a expansão de Taylor de
e então dividir por
.
Passo 2
Começamos lembrando a expansão de Taylor de
em torno de
:
Passo 3
Subtraindo essa série de 1 e dividindo por
obtemos:
portanto
Passo 4
Para identificar a parte principal (termos de potência negativa) e a parte regular, separamos os primeiros termos de
e
:
- Para
: . - Para
: .
Os demais termos, com, dão potências não negativas de .
Passo 5
Reindexando para escrever um termo geral para
, definimos
(ou seja,
), de modo que os termos regulares ficam:
Juntando tudo, a expansão de Laurent em torno de
é formada pela parte principal
, pelo termo constante
e pela soma acima.