Expanda a função dada em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado.
f(z)=1-e^zz^2, 0<|z|

Passo 1

O enunciado pede para expandir a função f(z)=1-e^zz^2 numa série de Laurent válida para 0<|z|. O conteúdo aqui é série de Laurent em torno de z=0, e vamos precisar usar a expansão de Taylor de e^z e então dividir por z^2.

Passo 2

Começamos lembrando a expansão de Taylor de e^z em torno de 0:
e^z=sumn=0^inftyz^nn!=1+z+z^22!+z^33!+cdots

Passo 3

Subtraindo essa série de 1 e dividindo por z^2 obtemos:
1-e^z=-sumn=1^inftyz^nn!,
portanto
1-e^zz^2=-sumn=1^inftyz^n-2n!

Passo 4

Para identificar a parte principal (termos de potência negativa) e a parte regular, separamos os primeiros termos de n=1 e n=2:
  • Para n=1: -z^-1/1!= -1cdot z^-1.
  • Para n=2: -z^0/2!= -tfrac12.
    Os demais termos, com n>=3, dão potências não negativas de z.

Passo 5

Reindexando para escrever um termo geral para n>=1, definimos m=n-2 (ou seja, n=m+2), de modo que os termos regulares ficam:
-summ=1^inftyz^m(m+2)!
Juntando tudo, a expansão de Laurent em torno de 0 é formada pela parte principal -z^-1, pelo termo constante -tfrac12 e pela soma acima.

Resposta

f(z)=-1z-12-sumn=1^inftyz^n(n+2)!, 0<|z|

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