Expanda a função dada em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado.
f(z)=z-sen zz^5, 0<|z|

Passo 1

A gente tem a função f(z)=z-sin zz^5 e quer a série de Laurent em torno de z=0, válida no anel 0<|z|. O conteúdo aqui é séries de Laurent, e vamos usar a série de Maclaurin do sin z e depois dividir por z^5.

Passo 2

Lembrando que a série de Maclaurin do seno é válida para todo z e é dada por:
sin z = z - z^33! + z^55! - z^77! + cdots

Passo 3

Agora calculamos o numerador:
z - sin z = z - l(z - z^36 + z^5120 - z^75040 + cdotsr) = z^36 - z^5120 + z^75040 - cdots

Passo 4

Dividindo essa série por z^5 a gente monta a série de Laurent:
f(z)=z-sin zz^5 = z^36 - z^5120 + z^75040 - cdotsz^5 = 16z^-2 - 1120 + 15040z^2 - 1362880z^4 + cdots

Passo 5

Como a expansão de sin z converge para todo z, essa série de Laurent fica válida em todo o plano exceto na origem, ou seja, no anel 0<|z|.

Resposta

f(z)=16z^-2-1120+15040z^2-1362880z^4+cdots

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