Expanda a função dada em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado.
f(z)=z cos 1z, 0<|z|

Passo 1

O enunciado pede para expandir a função f(z)=zcosl(1/zr) numa série de Laurent válida no anel 0<|z|. O conteúdo envolvido é usar o desenvolvimento em série de Taylor (Maclaurin) de cos w em torno de w=0, e depois adaptar para w=1/z.

Passo 2

A série de Maclaurin de cos w é dada por
cos w = sumn=0^infty (-1)^n(2n)! ,w^2n
Esse é o ponto de partida para gerar a parte principal da nossa série de Laurent.

Passo 3

Agora fazemos a substituição w=1/z dentro da expansão de cos w e multiplicamos o resultado por z:
f(z)=zcosl(1/zr)=z sumn=0^infty (-1)^n(2n)! l(1/zr)^2n
Em seguida, agrupamos as potências de z.

Passo 4

Reorganizando as potências de z na soma, temos:
f(z)=sumn=0^infty (-1)^n(2n)!,z^1-2n
Se você listar os primeiros termos, fica
z - 12!,z^-1 + 14!,z^-3 - 16!,z^-5 + cdots
Essa é a série de Laurent válida para todo z tal que 0<|z|.

Resposta

f(z)=sumn=0^infty (-1)^n(2n)!,z^1-2n, 0<|z|.

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