Um retângulo tem perímetro 100 cm . Determine os lados do retângulo de modo que ele tenha a maior área.

Passo 1

O enunciado pede um retângulo de perímetro 100 cm com área máxima. Vamos usar otimização de função (quadrática ou derivada) sujeita à restrição do perímetro.

Passo 2

Pela condição do perímetro temos:
2(l + w) = 100 implies l + w = 50
Isolando uma variável, por exemplo l:
l = 50 - w

Passo 3

A área do retângulo em função de w é:
A(w) = l cdot w = w(50 - w) = -w^2 + 50w

Passo 4

Para encontrar o máximo, derivamos A(w) e igualamos a zero:
A'(w) = -2w + 50,
-2w + 50 = 0 implies w = 25
Como A''(w) = -2 < 0, esse ponto é de máximo. Então
l = 50 - w = 50 - 25 = 25

Passo 5

Portanto, o retângulo de área máxima é um quadrado de lados iguais.

Resposta

Os lados do retângulo são 25 cm e 25 cm.

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