Expanda a função dada em uma série de Taylor centrada no ponto
indicado. Dê o raio de convergência
de cada série.
Passo 1
O enunciado pede para expandir a função
em série de Taylor centrada em
, ou seja, em potências de
. Para isso vamos usar a técnica de série geométrica.
Passo 2
Fazendo a mudança de variável
, temos
Passo 3
Reescrevendo
de modo a extrair um fator geométrico, temos
Passo 4
Sabendo que para
vale a série geométrica
Passo 5
multiplicamos termo a termo por
e obtemos
Passo 6
Voltando à variável original
, como
, a série fica
Passo 7
A condição de convergência da série geométrica
vira
. Logo o raio de convergência é
.