Expanda a função dada em uma série de Taylor centrada no ponto z0 indicado. Dê o raio de convergência R de cada série.
f(z)=z-13-z, z0=1

Passo 1

O enunciado pede para expandir a função f(z)=z-13-z em série de Taylor centrada em z0=1, ou seja, em potências de w=z-1. Para isso vamos usar a técnica de série geométrica.

Passo 2

Fazendo a mudança de variável w=z-1, temos
f(z)=z-13-z=w3-(1+w)=w2-w

Passo 3

Reescrevendo dfracw2-w de modo a extrair um fator geométrico, temos
f(z)=w2cdot11-w2

Passo 4

Sabendo que para |w/2|<1 vale a série geométrica
11-w2=sumn=0^inftyl(w2r)^n,

Passo 5

multiplicamos termo a termo por w/2 e obtemos
f(z)=sumn=0^inftyw^n+12^n+1=sumk=1^inftyw^k2^k

Passo 6

Voltando à variável original z, como w=z-1, a série fica
f(z)=sumn=1^infty(z-1)^n2^n

Passo 7

A condição de convergência da série geométrica |w/2|<1 vira |z-1|<2. Logo o raio de convergência é R=2.

Resposta

f(z)=sumn=1^infty(z-1)^n2^n, R=2

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