Expanda a função dada em uma série de Taylor centrada no ponto z0 indicado. Dê o raio de convergência R de cada série.
f(z)=e^z, z0=3 i. Sugestão: z=z-z0+z0

Passo 1

O enunciado pede para expandir a função f(z)=e^z em série de Taylor centrada em z0=3i, e também determinar o raio de convergência R. O conteúdo envolvido é série de Taylor (ou Maclaurin deslocada) de funções analíticas, e precisamos usar a sugestão z=(z-z0)+z0.

Passo 2

Para aplicar a expansão, escrevemos
e^z = e^(z-z0)+z0 = e^z0,e^(z-z0)
Aqui usamos a propriedade da exponencial de somas.

Passo 3

Sabendo que a série de Taylor de e^w em torno de w=0 é
e^w = ,sumn=0^infty w^nn!,
substituímos w = z - z0 para obter
e^(z-z0) = sumn=0^infty (z-z0)^nn!

Passo 4

Multiplicando por e^z0, concluímos que a série de Taylor de e^z em torno de z0=3i é
e^z = e^3i,sumn=0^infty (z-3i)^nn!

Passo 5

Como e^z é uma função inteira (analítica em todo C), o raio de convergência R dessa série é infinito.

Passo 6

Resposta final (síntese): expandimos em potências de (z-3i) com coeficientes e^3i/n! e obtemos R=infty.

Resposta

e^z = sumn=0^infty e^3in! ,(z-3i)^n, R = infty

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