Expanda a função dada em uma série de Taylor centrada no ponto
indicado. Dê o raio de convergência
de cada série.
. Sugestão:
Passo 1
O enunciado pede para expandir a função
em série de Taylor centrada em
, e também determinar o raio de convergência
. O conteúdo envolvido é série de Taylor (ou Maclaurin deslocada) de funções analíticas, e precisamos usar a sugestão
.
Passo 2
Para aplicar a expansão, escrevemos
Aqui usamos a propriedade da exponencial de somas.
Passo 3
Sabendo que a série de Taylor de
em torno de
é
substituímos
para obter
Passo 4
Multiplicando por
, concluímos que a série de Taylor de
em torno de
é
Passo 5
Como
é uma função inteira (analítica em todo
), o raio de convergência
dessa série é infinito.
Passo 6
Resposta final (síntese): expandimos em potências de
com coeficientes
e obtemos
.