Expanda a função dada em uma série de Taylor centrada no ponto z0 indicado. Dê o raio de convergência R de cada série.
f(z)=log (1+z), z0=0

Passo 1

O enunciado pede para expandir f(z)=log(1+z) em série de Taylor em torno de z0=0 e encontrar o raio de convergência R. Vamos usar a definição de série de Taylor, propriedades de séries de potências (série geométrica) e integração termo a termo.

Passo 2

Começamos calculando a derivada
f'(z)=11+z
Para |z|<1 reconhecemos uma série geométrica padrão e temos
11+z=sumn=0^infty(-1)^n z^n

Passo 3

Para obter log(1+z) integramos termo a termo de 0 até z:
log(1+z)=integral0^z dt1+t=sumn=0^infty(-1)^nintegral0^z t^n,dt =sumn=0^infty(-1)^nz^n+1n+1
Reindexando com k=n+1 chega-se a
log(1+z)=sumk=1^infty(-1)^k-1z^kk

Passo 4

O raio de convergência R é o mesmo da série geométrica para f'(z), ou pode ser confirmado pelo critério da razão, resultando em R=1.

Resposta

Série de Taylor:
log(1+z)=sumk=1^infty(-1)^k-1z^kk
Raio de convergência: R=1.

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