Expanda a função dada em uma série de Taylor centrada no ponto
indicado. Dê o raio de convergência
de cada série.
Passo 1
O enunciado pede para expandir
em série de Taylor em torno de
e encontrar o raio de convergência
. Vamos usar a definição de série de Taylor, propriedades de séries de potências (série geométrica) e integração termo a termo.
Passo 2
Começamos calculando a derivada
Para
reconhecemos uma série geométrica padrão e temos
Passo 3
Para obter
integramos termo a termo de 0 até
:
Reindexando com
chega-se a
Passo 4
O raio de convergência
é o mesmo da série geométrica para
, ou pode ser confirmado pelo critério da razão, resultando em
.
Resposta
Série de Taylor:
Raio de convergência:
.