[6, Ex.18(b,e,f,h), p.284] Esboçar a região de integração e calcular as integrais.
integral0^2 integralx^2^x integral0^2+x+y x d z d y d x

Passo 1

O enunciado nos dá uma integral tripla em coordenadas retangulares: integrar x sobre a região
E=(x,y,z)mid 0<= x<= 2,; x^2<= y<= x,; 0<= z<= 2+x+y
Conteúdo: integrais triplas e como montar/esboçar a região de integração.

Passo 2

Precisamos primeiro esboçar a projeção dessa região no plano xy. As curvas y=x^2 e y=x se cruzam em (0,0) e (1,1). Para cada x em [0,2], temos
x^2<= y<= x,
que só é uma faixa positiva em 0<= x<=1 (para x>1 a faixa fica “invertida”). Depois, para cada ponto (x,y) nessa região, o eixo z vai de 0 até 2+x+y.

Passo 3

Integramos primeiro em z:
integral0^2+x+y x,dz = xl[zr]0^2+x+y = x,(2 + x + y)

Passo 4

Agora integramos em y:
integralx^2^x x(2+x+y),dy = x(2+x)integralx^2^xdy + xintegralx^2^xy,dy
Calculando cada parte:
x(2+x)(x - x^2) + xcdotx^2 - x^42 = 2x^2 - tfrac12x^3 - x^4 - tfrac12x^5

Passo 5

Por fim, integramos em x de 0 a 2:
integral0^2l(2x^2 - tfrac12x^3 - x^4 - tfrac12x^5r)dx = l[tfrac2x^33 - tfracx^48 - tfracx^55 - tfracx^612r]0^2 = -425

Resposta

-\frac{42}{5}

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