Expanda a função dada em uma série de Taylor centrada no ponto
indicado. Dê o raio de convergência
de cada série.
Passo 1
O enunciado pede para expandir a função
em série de Taylor centrada em
e determinar o raio de convergência. O conteúdo envolvido é séries de Taylor (ou Maclaurin) de funções inteiras, e vamos precisar da definição de
em termos de exponenciais.
Passo 2
Lembrando que
. Como as séries de Taylor de
e
em
são conhecidas, vamos usá-las. A teoria diz que:
— Série de :
— Série de
— Série de
:
Passo 3
Substituindo na definição de
e colocando o fator
:
Agora observamos que os termos com
par se cancelam e os com
ímpar se dobram.
Filtrando apenas os termos ímpares (isto é, ), temos
Filtrando apenas os termos ímpares (isto é,
Essa é a forma geral da série de Taylor (Maclaurin) de
.
Passo 4
Para encontrar o raio de convergência, aplicamos o teste da raiz ou do quociente a
. Sabemos que a série de
converge para todo
, logo a de
também. Assim, o raio de convergência é
.