Expanda a função dada em uma série de Taylor centrada no ponto z0 indicado. Dê o raio de convergência R de cada série.
f(z)=senh z, z0=0

Passo 1

O enunciado pede para expandir a função f(z)=sinh z em série de Taylor centrada em z0=0 e determinar o raio de convergência. O conteúdo envolvido é séries de Taylor (ou Maclaurin) de funções inteiras, e vamos precisar da definição de sinh z em termos de exponenciais.

Passo 2

Lembrando que sinh z=e^z - e^-z2. Como as séries de Taylor de e^z e e^-z em 0 são conhecidas, vamos usá-las. A teoria diz que:
— Série de e^z:
e^z = sumn=0^infty z^nn!
— Série de e^-z:
e^-z = sumn=0^infty (-z)^nn! = sumn=0^infty (-1)^n z^nn!

Passo 3

Substituindo na definição de sinh z e colocando o fator tfrac12:
sinh z = 12l(sumn=0^infty z^nn! - sumn=0^infty (-1)^n z^nn!r)
Agora observamos que os termos com n par se cancelam e os com n ímpar se dobram.
Filtrando apenas os termos ímpares (isto é, n=2k+1), temos
sinh z = sumk=0^infty z^2k+1(2k+1)!
Essa é a forma geral da série de Taylor (Maclaurin) de sinh z.

Passo 4

Para encontrar o raio de convergência, aplicamos o teste da raiz ou do quociente a a2k+1=1/(2k+1)!. Sabemos que a série de e^z converge para todo zinC, logo a de sinh z também. Assim, o raio de convergência é R=infty.

Resposta

sinh z = sumk=0^infty z^2k+1(2k+1)!, R=infty

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