Determine o círculo e o raio de convergência das séries de potências dadas.
sumk=0^infty (2 k)!(k+2)(k!)^2(z-i)^2 k

Passo 1

O enunciado pede pra encontrar o círculo (isto é, o centro e a forma |z–z₀|<R) e o valor do raio de convergência de uma série de potências centrada em z₀. Aqui temos a série \n$ sumk=0^infty (2k)!(k+2)(k!)^2 (z - i)^2k$\nNo nosso caso o conteúdo é teoria de séries de potências e vamos precisar usar o teste da razão (ou da raiz) pra achar o raio de convergência.

Passo 2

Repare que só aparecem potências pares de (z–i). A gente pode definir uma nova variável \n$ x = (z - i)^2\ne reescrever a série como \n$ sumk=0^infty ak ,x^k,\nonde $a_k = \frac{(2k)!}{(k+2)(k!)^2}$. Assim reduzimos ao caso padrão de uma série em x.

Passo 3

Vamos aplicar o teste da razão na forma \n$ L = limktoinfty |ak+1 ,x^k+1ak ,x^k| = limktoinfty ak+1ak ,|x|\nCalculando $a_{k+1}/a_k)$:\n$ ak+1/ak)

Passo 4

Tomando limite quando $k\to\infty)$ desse quociente temos\n$ ktoinfty)\nLogo o teste da razão dá\n$ limktoinfty2(k+1)(2k+1)(k+2)(k+3)(k+1)^2 = 4\nPara convergir precisamos de \(
L<1\), ou seja \n$ L = 4,|x|

Passo 5

Voltando a $x=(z-i)^2$, a condição $|x|<1/4$ vira\n$ x=(z-i)^2\nIsso mostra que o centro da convergência é $z_0 = i$ e o raio é |x|<1/4.

Resposta

Círculo de convergência: |z - i| < 1/2; Raio de convergência: R = 1/2

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