Determine o círculo e o raio de convergência das séries de potências dadas.
Passo 1
O enunciado pede pra encontrar o círculo (isto é, o centro e a forma |z–z₀|<R) e o valor do raio de convergência de uma série de potências centrada em z₀. Aqui temos a série \n$$\nNo nosso caso o conteúdo é teoria de séries de potências e vamos precisar usar o teste da razão (ou da raiz) pra achar o raio de convergência.
Passo 2
Repare que só aparecem potências pares de (z–i). A gente pode definir uma nova variável \n$\ne reescrever a série como \n$\nonde $a_k = \frac{(2k)!}{(k+2)(k!)^2}$. Assim reduzimos ao caso padrão de uma série em x.
Passo 3
Vamos aplicar o teste da razão na forma \n$\nCalculando $a_{k+1}/a_k)$:\n$ak+1/ak)
Passo 4
Tomando limite quando $k\to\infty)$ desse quociente temos\n$ktoinfty)\nLogo o teste da razão dá\n$limktoinfty2(k+1)(2k+1)(k+2)(k+3)(k+1)^2 = 4\nPara convergir precisamos de \(
L<1\), ou seja \n$L = 4,|x|
Passo 5
Voltando a $x=(z-i)^2$, a condição $|x|<1/4$ vira\n$x=(z-i)^2\nIsso mostra que o centro da convergência é $z_0 = i$ e o raio é |x|<1/4.
Resposta
Círculo de convergência: |z - i| < 1/2; Raio de convergência: R = 1/2