Expanda a função dada em uma série de Taylor centrada no ponto z0 indicado. Dê o raio de convergência R de cada série.
f(z)=z1+z, z0=0

Passo 1

Estamos expandindo a função f(z)=z1+z em torno de z0=0, usando séries de Taylor (ou, no caso, geometria), e ao final vamos precisar do raio de convergência.

Passo 2

Para escrever a parte tfrac11+z como uma série, lembramos da série geométrica tfrac11-w=sumn=0^inftyw^n válida para |w|<1. Aqui fazemos w=-z, logo
11+z=11-(-z)=sumn=0^infty(-z)^n=sumn=0^infty(-1)^n z^n

Passo 3

Multiplicamos por z para recuperar f(z):
f(z)=zcdot11+z=zsumn=0^infty(-1)^n z^n=sumn=0^infty(-1)^n z^n+1=sumn=1^infty(-1)^n-1z^n

Passo 4

O raio de convergência R é dado pela distância até o pólo mais próximo de f, que está em z=-1. Assim, R=|-1-0|=1.

Resposta

f(z)=sumn=1^infty(-1)^n-1z^n, com raio de convergência R=1.

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