Mostre que a série de potências não é absolutamente convergente em seu círculo de convergência. Determine pelo menos um ponto no círculo de convergência no qual a série de potências é convergente.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série de potências dada por:
O conteúdo principal aqui é sobre séries de potências e convergência absoluta. Vamos precisar entender o que define o círculo de convergência dessa série e verificar se, dentro desse círculo, a série converge de forma absoluta. Além disso, precisamos encontrar pelo menos um ponto na borda desse círculo onde a série ainda converge.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o raio de convergência da série. Para isso, usamos o Critério da Razão, que é uma ferramenta clássica para determinar até onde a série converge.
O Critério da Razão diz que:
Onde anan+1 = (z - i)^n2^n(z - i)^n+12^n+1 = 2^n+1(z - i) cdot 2^n = 2|z - i| .
Vamos calcular esse limite:
Então,
R = limn to infty 2|z - i| = 2|z - i|
Isso nos diz que o raio de convergência é 2. Então, a série converge para , e o círculo de convergência é o conjunto de pontos no plano complexo tais que .
Passo 3
Agora, queremos mostrar que a série não é absolutamente convergente no círculo de convergência, ou seja, quando sumn=1^infty | (z - i)^n2^n | = sumn=1^infty |z - i|^n2^n .
Para verificar a convergência absoluta, analisamos a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty 2^n2^n = sumn=1^infty 1
No círculo de convergência, , então temos:
Essa série é uma série harmônica, que sabemos que diverge. Portanto, a série original não é absolutamente convergente no círculo de convergência.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar pelo menos um ponto no círculo de convergência onde a série é convergente.
Vamos escolher sumn=1^infty (2)^n2^n = sumn=1^infty 1 . Assim, sumn=1^infty (-2)^n2^n = sumn=1^infty (-1)^n , que está no círculo de convergência.
Substituindo na série:
sumn=1^infty (2i)^n2^n = sumn=1^infty i^n
Como vimos antes, essa série diverge. Então, vamos tentar outro ponto. Vamos escolher :
Essa é uma série alternada. Aplicando o Critério da Série Alternada, que diz que se os termos decrescem para zero, então a série converge.
Aqui, , que não tende a zero, então essa série também diverge. Vamos tentar outro ponto: que é .
Calculando a série:
Sabemos que oscila entre , então a série não converge nesse ponto. Parece que todos os pontos na borda podem não convergir, mas na verdade, já que a série original é uma série geométrica com razão , ela converge para pontos onde , e a convergência depende da argumentação.
Porém, ao testar pontos específicos, estamos encontrando divergência. Então, na verdade, não existe ponto no círculo de convergência onde a série seja convergente. Portanto, a série não é absolutamente convergente no círculo de convergência, e não converge em nenhum ponto da borda.
Resposta
A série de potências não é absolutamente convergente no seu círculo de convergência, que possui raio 2. Além disso, não há pontos na borda desse círculo onde a série seja convergente.