Expanda a função em uma série apropriada de cossenos ou de senos:
f(x)=\left\{\begin{array}{rr}1, & -2<x<-1 \\\\ 0, & -1<x<1 \\\\ 1, & 1<x<2\end{array} \quad\right.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= \begin{cases} 1,&-2<x<-1,\\\\ 0,&-1<x<1,\\\\ 1,&1<x<2, \end{cases}
definida em [-2,2]. O objetivo é expandir f numa série de Fourier composta apenas por cossenos, pois veremos que f é uma função par. Para isso, vamos usar a fórmula da série de Fourier em cossenos no intervalo de comprimento 2L=4 (ou seja, L=2).

Passo 2

Verificamos que f\) é par, pois \[f(-x)= \begin{cases} 1,&-2<-x<-1\iff 1<x<2,\\\\ 0,&-1<-x<1\iff -1<x<1,\\\\ 1,&1<-x<2\iff -2<x<-1, \end{cases}
que coincide com f(x)\]. Sendo \(f par, a expansão em Fourier só terá termos de cosseno:
f(x)\sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr).

Passo 3

A fórmula dos coeficientes para L=2 é
a_0 = \frac{1}{2}\int_{-2}^{2}f(x)\,dx = \int_{0}^{2}f(x)\,dx,
a_n = \frac{1}{2}\int_{-2}^{2}f(x)\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\,dx = \int_{0}^{2}f(x)\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\,dx,
onde aproveitamos a paridade de f.

Passo 4

Calculando a_0:
a_0 = \int_{0}^{2}f(x)\,dx = \int_{0}^{1}0\,dx + \int_{1}^{2}1\,dx = 1.

Passo 5

Calculando a_n para n\ge1:
a_n = \int_{0}^{2}f(x)\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\,dx = \int_{1}^{2}\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\,dx.
Fazendo a primitivação,
\int\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\,dx = \frac{2}{n\pi}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr),
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a_n = \frac{2}{n\pi}\Bigl[\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\Bigr]_{x=1}^{x=2} = \frac{2}{n\pi}\bigl(\sin(n\pi)-\sin(\tfrac{n\pi}{2})\bigr) = -\frac{2}{n\pi}\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr).

Passo 6

Observamos que \sin(n\pi/2)=0 para n par e \sin((2m-1)\pi/2)=(-1)^{m-1} para n=2m-1. Assim
a_{2m}=0, \quad a_{2m-1} = -\frac{2}{(2m-1)\pi}\,(-1)^{m-1} = (-1)^m\,\frac{2}{(2m-1)\pi}.

Resposta

f(x)=\frac{1}{2} +\sum_{m=1}^{\infty} (-1)^m\, \frac{2}{(2m-1)\pi} \, \cos\!\Bigl(\tfrac{(2m-1)\pi x}{2}\Bigr).

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