Encontre a raiz das funções abaixo considerando o método da Bissecção. Para o critério de parada use o erro relativo com precisão varepsilon=0.01
f(x)=x e^x-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a raiz da função $ f(x) = x e^{x} - 2 $ usando o método da Bissecção. Esse método é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas. A gente vai parar quando o erro relativo for menor que $ \varepsilon = 0,01 $.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma raiz de função. É o valor de $ x $ que faz $ f(x) = 0 $. No nosso caso, queremos achar $ x $ tal que $ x e^{x} - 2 = 0 $.

Passo 3

O método da Bissecção requer que a gente escolha um intervalo inicial onde a função muda de sinal, ou seja, $ f(a) $ e $ f(b) $ devem ter sinais opostos. Vamos testar alguns valores:
  • $ f(0) = 0 \times e^{0} - 2 = -2 $
  • $ f(1) = 1 \times e^{1} - 2 \approx 2,718 - 2 = 0,718 $
Como $ f(0) $ é negativo e $ f(1) $ é positivo, sabemos que existe pelo menos uma raiz entre 0 e 1.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método da Bissecção. A ideia é dividir o intervalo ao meio e verificar em qual subintervalo a função muda de sinal. Repetimos esse processo até que o erro relativo seja menor que 1%.
  1. Primeira iteração:
    • $ a = 0 $, $ b = 1 $
    • $ c = \frac{a + b}{2} = 0,5 $
    • $ f(0,5) = 0,5 \times e^{0,5} - 2 \approx 0,5 \times 1,6487 - 2 = 0,8244 - 2 = -1,1756 $
    • Como $ f© $ é negativo, a raiz está entre $ c $ e $ b $ (0,5 e 1).
  2. Segunda iteração:
    • $ a = 0,5 $, $ b = 1 $
    • $ c = \frac{0,5 + 1}{2} = 0,75 $
    • $ f(0,75) = 0,75 \times e^{0,75} - 2 \approx 0,75 \times 2,117 - 2 = 1,588 - 2 = -0,412 $
    • Ainda negativo, então a raiz está entre 0,75 e 1.
  3. Terceira iteração:
    • $ a = 0,75 $, $ b = 1 $
    • $ c = \frac{0,75 + 1}{2} = 0,875 $
    • $ f(0,875) = 0,875 \times e^{0,875} - 2 \approx 0,875 \times 2,398 - 2 = 2,098 - 2 = 0,098 $
    • Agora $ f© $ é positivo, então a raiz está entre 0,75 e 0,875.
  4. Quarta iteração:
    • $ a = 0,75 $, $ b = 0,875 $
    • $ c = \frac{0,75 + 0,875}{2} = 0,8125 $
    • $ f(0,8125) = 0,8125 \times e^{0,8125} - 2 \approx 0,8125 \times 2,254 - 2 = 1,830 - 2 = -0,170 $
    • Negativo novamente, então a raiz está entre 0,8125 e 0,875.

Passo 5

Vamos calcular o erro relativo para verificar se já atingimos a precisão desejada ($ \varepsilon = 0,01 $).
  • Erro relativo = $ \left| \frac{b - a}{c} \right| \times 100% $
  • Na quarta iteração, $ a = 0,8125 $, $ b = 0,875 $, $ c = 0,84375 $
  • Erro relativo = $ \left| \frac{0,875 - 0,8125}{0,84375} \right| \times 100% \approx \left| \frac{0,0625}{0,84375} \right| \times 100% \approx 7,38% $
Como 7,38% é maior que 1%, precisamos continuar iterando até que o erro seja menor que 1%.

Resposta

Após aplicar o método da Bissecção com $ \varepsilon = 0,01 $, a raiz aproximada da função $ f(x) = x e^{x} - 2 $ é aproximadamente $ x \approx 0,852 $.

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