Encontre a raiz das funções abaixo considerando o método da Bissecção. Para o critério de parada use o erro relativo com precisão varepsilon=0.01
f(x)=raizx-5 e^-x

Passo 1

Esse exercício pede para encontrar a raiz da função f(x)=raizx-5e^-x usando o método da bissecção, com critério de parada baseado em erro relativo varepsilon=0,01. Vamos aplicar conceitos de localização de raízes e convergência garantida pelo teorema do valor intermediário.

Passo 2

O método da bissecção consiste em escolher um intervalo [a,b] onde f(a) e f(b) tenham sinais opostos (garantindo, pelo teorema do valor intermediário, que existe ao menos uma raiz) e então dividir esse intervalo ao meio sucessivamente, trocando a ou , onde b) conforme o sinal de (f(c). A cada iteração, o intervalo reduz-se pela metade.

Passo 3

Precisamos primeiro encontrar [a,b] tal que f(a)cdot f(b)<0. Avaliando:
f(1)=raiz1-5e^-1=1-5cdot0,3679approx-0,8394,f(2)=raiz2-5e^-2=1,4142-5cdot0,1353approx0,7378
Como f(1)<0 e f(2)>0, escolhemos o intervalo inicial [1,2].

Passo 4

O critério de parada é o erro relativo entre as sucessivas abscissas médias. Sejam ck o ponto médio na k-ésima iteração e ck-1 o da anterior. Definimos
varepsilona=|ck-ck-1ck|

Passo 5

Paramos quando varepsilona<0,01.
Executando as iterações:
  1. c1=(1+2)/2=1,5000,;f(c1)approx0,1090 ⇒ raiz em [1,1,5].
  2. c2=(1+1,5)/2=1,2500,;f(c2)approx-0,3147,;varepsilona=|1,25-1,5|/1,25=0,20>0,01 ⇒ raiz em [1,25,1,5].
  3. c3=1,3750,;f(c3)approx-0,0873,;varepsilona=|1,375-1,25|/1,375approx0,091>0,01 ⇒ intervalo [1,375,1,5].
  4. c4=1,4375,;f(c4)approx0,0119,;varepsilona=|1,4375-1,375|/1,4375approx0,0435>0,01 ⇒ intervalo [1,375,1,4375].
  5. c5=1,40625,;f(c5)approx-0,0392,;varepsilona=|1,40625-1,4375|/1,40625approx0,0222>0,01 ⇒ intervalo [1,40625,1,4375].
  6. c6=1,421875,;f(c6)approx-0,0137,;varepsilona=|1,421875-1,40625|/1,421875approx0,0110>0,01 ⇒ intervalo [1,421875,1,4375].
  7. c7=1,4296875,;f(c7)approx-0,0006,;varepsilona=|1,4296875-1,421875|/1,4296875approx0,0055<0,01. Aqui o critério de parada é satisfeito.

Resposta

A raiz aproximada obtida pelo método da bissecção é x \approx 1,4296875.

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