Expanda a função 1 / z em séries de potências de z-1, depois obtenha por derivação termo-a-termo, a expansão de 1 / z^2 em potências de z-1. Forneça as regiões de validade.

Passo 1

O enunciado pede para expandir a função 1/z em série de potências de z-1 e, a partir daí, obter a expansão de 1/z^2 por derivação termo a termo, indicando as regiões de convergência. Vamos usar conhecimento de séries geométricas e diferenciação de séries de potências.

Passo 2

Definimos w = z - 1, de modo que z = 1 + w. Então
1z = 11 + w
é uma série geométrica padrão:
11 + w = sumn=0^infty (-1)^n w^n
que converge para |w| < 1. Substituindo w = z-1 obtemos
1z = sumn=0^infty (-1)^n (z-1)^n
com |z-1| < 1.

Passo 3

Para a região exterior |z-1| > 1, escrevemos
1z = 1w cdot 11 + 1/w
e aplicamos a série geométrica em 1/w:
11 + 1/w = sumn=0^infty (-1)^n w^-n
que vale para |1/w| < 1 (i.e. |w|>1). Logo
1z = sumn=0^infty (-1)^n (z-1)^-n-1
com |z-1| > 1.

Passo 4

Sabendo que
ddz1z = -1z^2,
vamos derivar termo a termo cada expansão para obter 1/z^2.

Passo 5

Na região |z-1| < 1, derivando
sumn=0^infty (-1)^n (z-1)^n
otemos que somente os termos com n>=1 contribuem, e
ddzl((z-1)^nr) = n (z-1)^n-1
Portanto
ddzl(sumn=0^infty (-1)^n (z-1)^nr) = sumn=1^infty (-1)^n n (z-1)^n-1
Multiplicando por -1 vem
1z^2 = -sumn=1^infty (-1)^n n (z-1)^n-1 = summ=0^infty (-1)^m (m+1) (z-1)^m

Passo 6

Na região |z-1| > 1, aplicamos o mesmo raciocínio à série
sumn=0^infty (-1)^n (z-1)^-n-1
Derivando cada termo:
ddzl((z-1)^-n-1r) = -(n+1)(z-1)^-n-2,
o que dá
ddzl(sumn=0^infty (-1)^n (z-1)^-n-1r) = sumn=0^infty (-1)^nl[-(n+1)r](z-1)^-n-2
Multiplicando por -1 resulta
1z^2 = sumn=0^infty (-1)^n (n+1) (z-1)^-n-2

Resposta

Para |z-1|<1:
1z^2 = summ=0^infty (-1)^m (m+1) (z-1)^m
Para |z-1|>1:
1z^2 = sumn=0^infty (-1)^n (n+1) (z-1)^-n-2

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