Expanda a função
em séries de potências de
, depois obtenha por derivação termo-a-termo, a expansão de
em potências de
. Forneça as regiões de validade.
Passo 1
O enunciado pede para expandir a função
em série de potências de
e, a partir daí, obter a expansão de
por derivação termo a termo, indicando as regiões de convergência. Vamos usar conhecimento de séries geométricas e diferenciação de séries de potências.
Passo 2
Definimos
, de modo que
. Então
é uma série geométrica padrão:
que converge para
. Substituindo
obtemos
com
.
Passo 3
Para a região exterior
, escrevemos
e aplicamos a série geométrica em
:
que vale para
(i.e.
). Logo
com
.
Passo 4
Sabendo que
vamos derivar termo a termo cada expansão para obter
.
Passo 5
Na região
, derivando
otemos que somente os termos com
contribuem, e
Portanto
Multiplicando por
vem
Passo 6
Na região
, aplicamos o mesmo raciocínio à série
Derivando cada termo:
o que dá
Multiplicando por
resulta
Resposta
Para |z-1|<1:
Para |z-1|>1: