Use, se possível, a Regra de L’Hospital para calcular os limites abaixo:
lim x 0 x^2+sin ^2 x4 x^2

Passo 1

O problema pede calcular limxto 0dfracx^2 + sin^2 x4x^2. O conteúdo é limite de tipo 0/0 e vamos usar a Regra de L’Hospital.

Passo 2

Substituindo x=0 no numerador e no denominador, ambos vão a zero, caracterizando a forma indeterminada 0/0. Então podemos aplicar L’Hospital.

Passo 3

Derivamos numerador e denominador: numerador: dfracddx(x^2 + sin^2 x)=2x + 2sin xcos x=2x + sin2x. Denominador: dfracddx(4x^2)=8x.

Passo 4

Ao tentar novamente xto0, o novo quociente é (2x+sin2x)/(8x), que também dá 0/0. Logo, aplicamos L’Hospital de novo.

Passo 5

Derivando pela segunda vez: numerador: dfracddx(2x+sin2x)=2 + 2cos2x. Denominador: dfracddx(8x)=8. Agora não há indeterminação.

Passo 6

Basta avaliar em x=0: dfrac2+2cos08=dfrac2+2cdot18=dfrac48=1/2.

Resposta

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