Identifique as funções definidas pelas séries de potências dadas.
sumn=1^infty(n+2) x^n2^n+1

Passo 1

Estamos com a série de potências
S(x)=sumn=1^infty(n+2)x^n2^n+1
O conteúdo aqui é soma de séries geométrica e de séries com termo geral envolvendo n. Vamos precisar das fórmulas
sumn=1^inftyy^n=y1-y, sumn=1^inftyn,y^n=y(1-y)^2,
e valerá para |y|<1.

Passo 2

Primeiro fatoramos 1/2 e definimos y=tfracx2. Assim fica
S(x)=12sumn=1^infty(n+2)y^n

Passo 3

Agora separamos a soma:
sumn=1^infty(n+2)y^n=sumn=1^inftyn,y^n+2sumn=1^inftyy^n =y(1-y)^2+2cdoty1-y

Passo 4

Juntando as frações:
y(1-y)^2+2y1-y =y+2y(1-y)(1-y)^2 =3y-2y^2(1-y)^2 =y(3-2y)(1-y)^2
Logo
S(x)=12cdoty(3-2y)(1-y)^2

Passo 5

Finalmente substituímos y=tfracx2:
S(x)=12cdot(x/2)(3-x)(1-x/2)^2 =x(3-x)(2-x)^2,
válido para |x|<2.

Resposta

x(3-x)(2-x)^2

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