Obtenha os desenvolvimentos indicados abaixo.
(1+x)^-3 em potências de x.

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver a função (1+x)^{-3} em potências de x, ou seja, encontrar sua série de Taylor (binomial) em torno de x=0. O conteúdo principal aqui é o Teorema Binomial Generalizado, que nos dá a expansão de (1+x)^α para α real e |x|<1.

Passo 2

Pelo Teorema Binomial Generalizado, temos
(1+x)^alpha=sumn=0^infty binomalphanx^n,
onde
binomalphan=alpha(alpha-1)cdots(alpha-n+1)n!
Aqui α=−3.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente geral para α=−3. Temos
binom-3n=(-3)(-4)cdots[-3-(n-1)]n!=(-1)^n(n+2)(n+1)2
Portanto, o termo de ordem n é
(-1)^n(n+1)(n+2)2x^n

Passo 4

Juntando tudo, obtemos a série de potências para |x|<1:
(1+x)^-3=sumn=0^infty(-1)^n(n+1)(n+2)2x^n=1-3x+6x^2-10x^3+15x^4-cdots

Resposta

(1+x)^-3=sumn=0^infty(-1)^n(n+1)(n+2)2,x^n=1-3x+6x^2-10x^3+15x^4-cdots

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