1. Desenvolva 10+11 x+5 x^{2}+x^{3} em torno de x=-1

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver o polinômio
10 + 11x + 5x^{2} + x^{3}
em torno de x=-1. Isso significa escrever esse polinômio como soma de potências de (x+1). O conteúdo usado é a expansão de Taylor de polinômio (que é exata) centrada em x_{0}=-1. Vamos, portanto, fazer a mudança de variável t = x+1 e reescrever tudo em função de t.

Passo 2

Seja
t = x + 1,
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x = t - 1.
Substituindo em
P(x) = 10 + 11x + 5x^{2} + x^{3}
obtemos
P(t-1) = 10 + 11(t-1) + 5(t-1)^{2} + (t-1)^{3}.

Passo 3

Agora expandimos cada termo:
11(t-1) = 11t - 11,
5(t-1)^{2} = 5\bigl(t^{2} - 2t + 1\bigr) = 5t^{2} - 10t + 5,
(t-1)^{3} = t^{3} - 3t^{2} + 3t - 1.

Passo 4

Agrupando tudo:
P(t-1) = 10 + (11t - 11) + (5t^{2} - 10t + 5) + (t^{3} - 3t^{2} + 3t - 1).
Somando coeficientes:
t^{3} \;+\;(5-3)\,t^{2}\;+\;(11-10+3)\,t\;+\;(10 - 11 + 5 - 1) = t^{3} + 2t^{2} + 4t + 3.

Passo 5

Voltando à variável original, t = x+1, concluímos que
10 + 11x + 5x^{2} + x^{3} = (x+1)^{3} + 2(x+1)^{2} + 4(x+1) + 3.

Resposta

(x+1)^{3} + 2(x+1)^{2} + 4(x+1) + 3.

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