Pede: expandir f(x)=1 em 0<x<2 numa série de Fourier–Bessel utilizando funções de Bessel de ordem zero que satisfazem a condição de contorno
J_{0}(2\alpha)+2\alpha J_{0}^{\prime}(2\alpha)=0.
Informações dadas:
A função a expandir é f(x)=1 no intervalo 0<x<2.
As funções de base serão da forma J_{0}(\alpha x), com os valores \alpha determinados pelas raízes da equação acima.
Devemos usar a ortogonalidade apropriada para problemas com peso x (peso típico em coordenadas cilíndricas).
Passo 2
Ideia geral do método (sem resolver ainda): o que é uma série de Fourier–Bessel e por que usar J_{0}(\alpha x)
Séries de Fourier–Bessel servem para expandir funções f(x) em combinações lineares de funções J_{\nu}(\alpha_n x) quando se tem um problema (Sturm–Liouville) com peso x. Aqui \nu=0.
Cálculo do denominador (norma) N_{n}=\displaystyle\int_{0}^{2} x \bigl[J_{0}(\alpha_{n} x)\bigr]^{2}\,dx
Existe uma identidade padrão (que surge de manipulações da equação de Bessel e integração por partes) válida para \nu=0:
\int_{0}^{a} r \bigl[J_{0}(\alpha r)\bigr]^{2}\,dr =\frac{a^{2}}{2}\Bigl[ J_{0}'(\alpha a)^{2} + J_{0}(\alpha a)^{2}\Bigr].
(Justificação curta: multiplica-se a equação de Bessel por r J_{0}(\alpha r), integra-se e usa-se integração por partes; o resultado é esta expressão padrão para a norma.)
Aplicando com a=2 e \alpha=\alpha_{n} temos
N_{n}=\int_{0}^{2} x \bigl[J_{0}(\alpha_{n} x)\bigr]^{2}\,dx =\frac{2^{2}}{2}\Bigl[J_{0}'(2\alpha_{n})^{2}+J_{0}(2\alpha_{n})^{2}\Bigr] =2\Bigl[J_{0}'(2\alpha_{n})^{2}+J_{0}(2\alpha_{n})^{2}\Bigr].
Substitua J_{0}'(z)=-J_{1}(z) para escrever em termos de J_{1}:
(A simplificação usa que J_{1}(2\alpha_{n})\neq 0 para as raízes \alpha_{n} da equação mista que temos — em geral a condição de contorno evita coincidência com zeros de J_{1}.)