Expanda f(x)=1,0<x<2, em uma série de Fourier-Bessel, utilizando funções de Bessel da mesma ordem como indicado na condição de contorno:
J_{0}(2 \alpha)+2 \alpha J_{0}^{\prime}(2 \alpha)=0

Passo 1

O que o enunciado pede e o que já temos:
  • Pede: expandir f(x)=1 em 0<x<2 numa série de Fourier–Bessel utilizando funções de Bessel de ordem zero que satisfazem a condição de contorno
J_{0}(2\alpha)+2\alpha J_{0}^{\prime}(2\alpha)=0.
  • Informações dadas:
    • A função a expandir é f(x)=1 no intervalo 0<x<2.
    • As funções de base serão da forma J_{0}(\alpha x), com os valores \alpha determinados pelas raízes da equação acima.
    • Devemos usar a ortogonalidade apropriada para problemas com peso x (peso típico em coordenadas cilíndricas).

Passo 2

Ideia geral do método (sem resolver ainda): o que é uma série de Fourier–Bessel e por que usar J_{0}(\alpha x)
  • Séries de Fourier–Bessel servem para expandir funções f(x) em combinações lineares de funções J_{\nu}(\alpha_n x) quando se tem um problema (Sturm–Liouville) com peso x. Aqui \nu=0.
  • Vamos procurar uma expansão da forma
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} J_{0}(\alpha_{n} x),
onde:
  • \{\alpha_{n}\}_{n\ge1} são as raízes positivas da equação de contorno dada:
J_{0}(2\alpha_{n})+2\alpha_{n} J_{0}^{\prime}(2\alpha_{n})=0.
  • As funções J_{0}(\alpha_{n} x) são ortogonais com respeito ao peso x em (0,2), isto é, para m\neq n
\int_{0}^{2} x J_{0}(\alpha_{n} x) J_{0}(\alpha_{m} x)\,dx=0.
  • Para obter os coeficientes a_{n} usamos a projeção ortogonal:
a_{n}=\frac{\displaystyle\int_{0}^{2} x f(x) J_{0}(\alpha_{n} x)\,dx}{\displaystyle\int_{0}^{2} x \bigl[J_{0}(\alpha_{n} x)\bigr]^{2}\,dx}.
Aqui:
  • f(x)=1 é a função dada.
  • O denominador é a norma (normalização) da função própria J_{0}(\alpha_{n} x) no espaço com peso x.
Vou agora calcular numerador e denominador explicitamente (passos seguintes).

Passo 3

Definição das raízes \alpha_{n}
  • Para cada n\ge1, \alpha_{n}>0 é a n-ésima solução positiva da equação
J_{0}(2\alpha)+2\alpha J_{0}^{\prime}(2\alpha)=0.
  • Observação útil sobre derivada: a derivada da função de Bessel de ordem zero satisfaz a identidade
J_{0}^{\prime}(z)=-J_{1}(z).
Usando isso a equação de contorno pode ser reescrita como
J_{0}(2\alpha)-2\alpha J_{1}(2\alpha)=0 \qquad\text{ou}\qquad J_{0}(2\alpha)=2\alpha J_{1}(2\alpha).
(Guarde esta relação — ela vai simplificar bastante a normalização.)

Passo 4

Cálculo do numerador I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{2} x\cdot 1\cdot J_{0}(\alpha_{n} x)\,dx
  • Queremos calcular
I_{n}=\int_{0}^{2} x J_{0}(\alpha_{n} x)\,dx.
  • Use uma primitiva conhecida/rápida: verificar que
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x J_{1}(\alpha x)}{\alpha}\right) = J_{1}(\alpha x)\frac{1}{\alpha} + x\frac{\alpha J_{1}'(\alpha x)}{\alpha} = J_{1}(\alpha x)\frac{1}{\alpha} + x J_{1}'(\alpha x).
Usando a identidade J_{1}'(z)=J_{0}(z)-\dfrac{J_{1}(z)}{z} obtemos
J_{1}(\alpha x)\frac{1}{\alpha} + x\biggl(J_{0}(\alpha x)-\frac{J_{1}(\alpha x)}{\alpha x}\biggr) = x J_{0}(\alpha x).
Logo uma primitiva de x J_{0}(\alpha x) é \dfrac{x J_{1}(\alpha x)}{\alpha}.
  • Portanto
I_{n}=\left[\frac{x J_{1}(\alpha_{n} x)}{\alpha_{n}}\right]_{0}^{2} =\frac{2 J_{1}(2\alpha_{n})}{\alpha_{n}}-\underbrace{\frac{0\cdot J_{1}(0)}{\alpha_{n}}}_{=0} =\frac{2 J_{1}(2\alpha_{n})}{\alpha_{n}}.

Passo 5

Cálculo do denominador (norma) N_{n}=\displaystyle\int_{0}^{2} x \bigl[J_{0}(\alpha_{n} x)\bigr]^{2}\,dx
  • Existe uma identidade padrão (que surge de manipulações da equação de Bessel e integração por partes) válida para \nu=0:
\int_{0}^{a} r \bigl[J_{0}(\alpha r)\bigr]^{2}\,dr =\frac{a^{2}}{2}\Bigl[ J_{0}'(\alpha a)^{2} + J_{0}(\alpha a)^{2}\Bigr].
(Justificação curta: multiplica-se a equação de Bessel por r J_{0}(\alpha r), integra-se e usa-se integração por partes; o resultado é esta expressão padrão para a norma.)
  • Aplicando com a=2 e \alpha=\alpha_{n} temos
N_{n}=\int_{0}^{2} x \bigl[J_{0}(\alpha_{n} x)\bigr]^{2}\,dx =\frac{2^{2}}{2}\Bigl[J_{0}'(2\alpha_{n})^{2}+J_{0}(2\alpha_{n})^{2}\Bigr] =2\Bigl[J_{0}'(2\alpha_{n})^{2}+J_{0}(2\alpha_{n})^{2}\Bigr].
  • Substitua J_{0}'(z)=-J_{1}(z) para escrever em termos de J_{1}:
N_{n}=2\bigl[J_{1}(2\alpha_{n})^{2}+J_{0}(2\alpha_{n})^{2}\bigr].
  • Agora use a relação da condição de contorno J_{0}(2\alpha_{n})=2\alpha_{n} J_{1}(2\alpha_{n}) (ver Passo 3). Assim
J_{0}(2\alpha_{n})^{2}=(2\alpha_{n})^{2} J_{1}(2\alpha_{n})^{2}=4\alpha_{n}^{2} J_{1}(2\alpha_{n})^{2}.
  • Portanto
N_{n}=2\bigl[J_{1}(2\alpha_{n})^{2}+4\alpha_{n}^{2} J_{1}(2\alpha_{n})^{2}\bigr] =2 J_{1}(2\alpha_{n})^{2}\bigl(1+4\alpha_{n}^{2}\bigr).

Passo 6

Cálculo final dos coeficientes a_{n} e expressão da série
  • Já temos numerador e denominador:
I_{n}=\frac{2 J_{1}(2\alpha_{n})}{\alpha_{n}}, \qquad N_{n}=2 J_{1}(2\alpha_{n})^{2}\bigl(1+4\alpha_{n}^{2}\bigr).
  • Logo
a_{n}=\frac{I_{n}}{N_{n}} =\frac{\dfrac{2 J_{1}(2\alpha_{n})}{\alpha_{n}}}{2 J_{1}(2\alpha_{n})^{2}\bigl(1+4\alpha_{n}^{2}\bigr)} =\frac{1}{\alpha_{n}\bigl(1+4\alpha_{n}^{2}\bigr) J_{1}(2\alpha_{n})}.
(A simplificação usa que J_{1}(2\alpha_{n})\neq 0 para as raízes \alpha_{n} da equação mista que temos — em geral a condição de contorno evita coincidência com zeros de J_{1}.)
  • Portanto a expansão desejada é
f(x)=1=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\alpha_{n}\bigl(1+4\alpha_{n}^{2}\bigr) J_{1}(2\alpha_{n})}\;J_{0}(\alpha_{n} x),
onde cada \alpha_{n} é a n-ésima raiz positiva da equação
J_{0}(2\alpha)+2\alpha J_{0}^{\prime}(2\alpha)=0.

Resposta

1=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\alpha_{n}\bigl(1+4\alpha_{n}^{2}\bigr) J_{1}(2\alpha_{n})}\;J_{0}(\alpha_{n} x), \quad\text{onde }\;J_{0}(2\alpha_{n})+2\alpha_{n}J_{0}^{\prime}(2\alpha_{n})=0.

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