Expanda
, em uma série de Fourier-Bessel, utilizando funções de Bessel da mesma ordem como indicado na condição de contorno:
Passo 1
O enunciado pede: expandir
definida em
numa série de Fourier–Bessel usando funções
da mesma ordem, com os autovalores
determinados pela condição de contorno
Informações relevantes fornecidas:
O que devemos obter: a série de Fourier–Bessel que representa
no intervalo, ou equivalentemente os coeficientes da expansão.
Passo 2
Qual é a forma geral da série a usar? Como estamos lidando com
e a condição
(condição de Neumann no extremo
), os modos não nulos correspondem aos
tais que
Observação importante (e que faz toda a diferença aqui): existe também o modo associado a
. Para
temos
e
, logo
satisfaz a condição de contorno. Portanto a base completa com essa condição inclui o modo constante
mais os modos
com
. Assim a expansão tem a forma
Agora precisamos aprender como calcular
e
. A ortogonalidade relevante (peso
) garante que os coeficientes são obtidos por projeções com a integral
.
Passo 3
Cálculo do coeficiente do modo constante
.
Definição de projeção para o modo constante: a norma do modo constante (função
) com o produto interno ponderado por
é
Portanto
Calculando a integral do numerador:
Logo
Interpretação física/matemática curta: a média ponderada (com peso
) de
sobre
dá o coeficiente do modo constante; aqui
e isso leva a
.
Passo 4
Cálculo dos coeficientes
para
.
Fórmula geral (quando as
são raízes de
) para o coeficiente
é, usando ortogonalidade com peso
,
Para
e raízes de
(isto é,
), a norma no denominador vale
mas não precisamos do valor explícito do denominador para concluir o que ocorre com o numerador neste caso particular. Vamos calcular o numerador para
:
Usamos a primitiva conhecida (mostro a derivação curta): uma primitiva de
é
, porque diferenciando essa expressão obtemos
(usar a relação
para verificar). Assim
Mas as
foram escolhidas de modo que
Usamos a identidade
; portanto
implica
. Assim o numerador é zero:
Logo para todo
temos
(denominador finito não nulo), ou seja, todos os coeficientes dos modos não nulos se anulam.
Passo 5
Conclusão e interpretação final: a função constante
é justamente o modo constante
(o autovalor
satisfaz a condição de contorno), e todos os modos com
têm coeficientes nulos porque a projeção ponderada de uma constante sobre
é zero quando
. Portanto a série de Fourier–Bessel é trivial neste caso — a função é exatamente o modo constante.
Resposta
com
onde
satisfazem
.