Expanda f(x)=1,0<x<2, em uma série de Fourier-Bessel, utilizando funções de Bessel da mesma ordem como indicado na condição de contorno:
J_{0}^{\prime}(2 \alpha)=0

Passo 1

O enunciado pede: expandir f(x)=1 definida em 0<x<2 numa série de Fourier–Bessel usando funções J_{0} da mesma ordem, com os autovalores \alpha determinados pela condição de contorno
J_{0}^{\prime}(2\alpha)=0.
Informações relevantes fornecidas:
\text{função: } f(x)=1,\quad \text{intervalo: }0<x<2,\quad \text{constante }a=2,çã
\text{autovalores: } \alpha_n \text{ (positivos) satisfazem } J_{0}^{\prime}(2\alpha_n)=0.
O que devemos obter: a série de Fourier–Bessel que representa f(x) no intervalo, ou equivalentemente os coeficientes da expansão.

Passo 2

Qual é a forma geral da série a usar? Como estamos lidando com J_0 e a condição J_{0}^{\prime}(2\alpha)=0 (condição de Neumann no extremo x=2), os modos não nulos correspondem aos \alpha_n>0 tais que
J_{0}^{\prime}(2\alpha_n)=0.
Observação importante (e que faz toda a diferença aqui): existe também o modo associado a \alpha=0. Para \alpha=0 temos J_0(0\cdot x)=1 e J_0'(0)=0, logo \alpha=0 satisfaz a condição de contorno. Portanto a base completa com essa condição inclui o modo constante J_0(0\cdot x)=1 mais os modos J_0(\alpha_n x) com n\ge 1. Assim a expansão tem a forma
f(x)=A_0 + \sum_{n=1}^{\infty} A_n\,J_0(\alpha_n x).
Agora precisamos aprender como calcular A_0 e A_n. A ortogonalidade relevante (peso x) garante que os coeficientes são obtidos por projeções com a integral \int_0^{2} x(\cdot)\,dx.

Passo 3

Cálculo do coeficiente do modo constante A_0.
Definição de projeção para o modo constante: a norma do modo constante (função 1) com o produto interno ponderado por x é
\int_0^{2} x\cdot 1\cdot 1\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^{2} = 2.
Portanto
A_0 = \frac{1}{\displaystyle\int_0^{2} x\,dx}\int_0^{2} x f(x)\cdot 1\,dx = \frac{1}{2}\int_0^{2} x\cdot 1\,dx.
Calculando a integral do numerador:
\int_0^{2} x\,dx = 2.
Logo
A_0 = \frac{1}{2}\cdot 2 = 1.
Interpretação física/matemática curta: a média ponderada (com peso x) de f sobre [0,2] dá o coeficiente do modo constante; aqui f\equiv 1 e isso leva a A_0=1.

Passo 4

Cálculo dos coeficientes A_n para n\ge 1.
Fórmula geral (quando as \alpha_n são raízes de J_0'(2\alpha_n)=0) para o coeficiente A_n é, usando ortogonalidade com peso x,
A_n = \frac{\displaystyle\int_0^{2} x f(x) J_0(\alpha_n x)\,dx}{\displaystyle\int_0^{2} x \big[J_0(\alpha_n x)\big]^2 dx}.
Para \nu=0 e raízes de J_0'(2\alpha_n)=0 (isto é, J_1(2\alpha_n)=0), a norma no denominador vale
\int_0^{2} x \big[J_0(\alpha_n x)\big]^2 dx = \frac{2^{2}}{2}\big[J_0(2\alpha_n)\big]^2 = 2\big[J_0(2\alpha_n)\big]^2,
mas não precisamos do valor explícito do denominador para concluir o que ocorre com o numerador neste caso particular. Vamos calcular o numerador para f(x)=1:
\int_0^{2} x\cdot 1\cdot J_0(\alpha_n x)\,dx.
Usamos a primitiva conhecida (mostro a derivação curta): uma primitiva de x J_0(\alpha_n x) é \dfrac{x J_1(\alpha_n x)}{\alpha_n}, porque diferenciando essa expressão obtemos x J_0(\alpha_n x) (usar a relação J_1'(z)=J_0(z)-\dfrac{1}{z}J_1(z) para verificar). Assim
\int_0^{2} x J_0(\alpha_n x)\,dx = \left[\frac{x J_1(\alpha_n x)}{\alpha_n}\right]_0^{2} = \frac{2 J_1(2\alpha_n)}{\alpha_n}.
Mas as \alpha_n foram escolhidas de modo que
J_0'(2\alpha_n)=0.
Usamos a identidade J_0'(z)=-J_1(z); portanto J_0'(2\alpha_n)=0 implica J_1(2\alpha_n)=0. Assim o numerador é zero:
\int_0^{2} x J_0(\alpha_n x)\,dx = 0.
Logo para todo n\ge 1 temos A_n=0 (denominador finito não nulo), ou seja, todos os coeficientes dos modos não nulos se anulam.

Passo 5

Conclusão e interpretação final: a função constante f(x)=1 é justamente o modo constante J_0(0\cdot x)=1 (o autovalor \alpha=0 satisfaz a condição de contorno), e todos os modos com \alpha_n>0 têm coeficientes nulos porque a projeção ponderada de uma constante sobre J_0(\alpha_n x) é zero quando J_1(2\alpha_n)=0. Portanto a série de Fourier–Bessel é trivial neste caso — a função é exatamente o modo constante.

Resposta

f(x)=1 para 0<x<2 admite a expansão
f(x)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n J_0(\alpha_n x)
com
A_0=1,
A_n=0\quad\text{para todo }n\ge 1,
onde \alpha_n>0 satisfazem J_0'(2\alpha_n)=0.

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