1. A expansão em frações parciais de uma determinada X(z) é dada pela expressão abaixo. A região de convergência para esta X(z) é dada por 1<|z|<3. Encontre x(k).
X(z)=2 z(z-12)^2+zz-12-2 zz-1-12 zz-3

Passo 1

O enunciado dá a expansão em frações parciais
X(z)=2,zl(z-tfrac12r)^2+zz-tfrac12-2,zz-1-tfrac12zz-3
com região de convergência 1<|z|<3. Queremos x[k], o inverso de X(z). Vamos usar tabelas de transformada-z:
  • Z(k+1)a^k,u[k]=z(z-a)^2, ROC |z|>|a|.
  • Za^k,u[k]=zz-a, ROC |z|>|a|.
  • Z-a^k,u[-k-1]=zz-a, ROC |z|<|a|.

Passo 2

Para o termo 2,z(z-tfrac12)^2 temos a=tfrac12 e ROC exige |z|>tfrac12, compatível com |z|>1. Então
x1[k] =2,(k+1)l(tfrac12r)^k,u[k]

Passo 3

Para o termo zz-tfrac12 também a=tfrac12 e ROC |z|>tfrac12, logo é causal:
x2[k] =l(tfrac12r)^k,u[k]

Passo 4

Para -2,zz-1 temos a=1 e ROC |z|>1, portanto
x3[k] =-2cdot1^k,u[k] =-2,u[k]

Passo 5

Para -tfrac12zz-3 vemos a=3 mas a ROC é |z|<3, o que indica componente anti-causal. Usamos
Z-a^k,u[-k-1]=zz-a para |z|<|a|. Multiplicando por -tfrac12
x4[k] =tfrac12;3^k,u[-k-1]

Passo 6

Somando tudo e agrupando para k>=0 e k<=-1:
Para k>=0:
x[k] =2(k+1)l(tfrac12r)^k+l(tfrac12r)^k-2 =l(2k+3r)l(tfrac12r)^k-2
Para k<=-1:
x[k] =tfrac12,3^k

Resposta

x[k] = (2k+3)l(tfrac12r)^k - 2, & k >= 0, tfrac12,3^k, & k <= -1

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