1. Mostre que a Transformada Z de
x(k)=cc k a^k cos (k theta) & ; k >= 0 0 ; k<0 é dada por: é
X(z)=a z[z^2 cos (theta)-2 a z+a^2 cos (theta)][z^2-2 a z cos (theta)+a^2]^2

Passo 1

O enunciado pede a transformada
O conteúdo principal é a propriedade da derivada na Transformada e depois aplicar a propriedade para obter .

Passo 2

Calcular primeiro
X0(z)=sumk=0^inftya^kcos(ktheta),z^-k
Usamos a identidade cos(ktheta)=tfrac12(e^jktheta+e^-jktheta) e a soma de duas progressões geométricas:
sumk=0^infty(a e^pm jthetaz^-1)^k =11-a e^pm jthetaz^-1 =zz-a e^pm jtheta
Assim
X0(z) =12l(zz-a e^jtheta+zz-a e^-jthetar) =zl(z-acos(theta)r)z^2-2a zcos(theta)+a^2

Passo 3

Agora aplicamos a propriedade da derivada para obter
X(z) =Zk,a^kcos(ktheta) =-,z,ddzl[z(z-acos(theta))z^2-2a zcos(theta)+a^2r]

Passo 4

Denote
N(z)=zl(z-acos(theta)r), D(z)=z^2-2a zcos(theta)+a^2
Então
N'(z)=2z-acos(theta), D'(z)=2z-2acos(theta),
e a derivada fica
ddzl[NDr] =N'D-N,D'D^2
Logo
X(z) =-zN'D-N,D'D^2 =zl[N,D'-N',Dr]D^2
Ao expandir N,D'-N',D encontra-se
N,D'-N',D =acos(theta),z^2-2a^2,z+a^3cos(theta)

Passo 5

Substituindo no numerador e lembrando de D(z)=z^2-2a zcos(theta)+a^2, obtemos
X(z) =zl(acos(theta),z^2-2a^2,z+a^3cos(theta)r) l(z^2-2a zcos(theta)+a^2r)^2 =a,zl(z^2cos(theta)-2a,z+a^2cos(theta)r) l(z^2-2a,zcos(theta)+a^2r)^2

Resposta

X(z) =a,zl(z^2cos(theta)-2a,z+a^2cos(theta)r) l(z^2-2a,zcos(theta)+a^2r)^2

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