Encontre a transformada Z inversa das expressões abaixo:
E(z)=z^3(z-1 / 4)^2(z-1) ,|z|<14

Passo 1

O enunciado pede a sequência e[n] cuja transformada de Z
E(z)=sumn=0^inftye[n],z^n
é
E(z)=z^3(z-tfrac14)^2(z-1),
com região de convergência lvert zrvert<tfrac14.
Conteúdo: transformada inversa de Z via divisão polinomial, frações parciais e séries de potências para lvert zrvert<|a|.

Passo 2

Primeiro fazemos a divisão polinomial de
z^3(z-tfrac14)^2(z-1)
por (z-tfrac14)^2(z-1)=z^3-tfrac32z^2+tfrac916z-tfrac116.
Como o grau do numerador é igual ao do denominador, o quociente vale 1 e o resto é
z^3-l(z^3-tfrac32z^2+tfrac916z-tfrac116r) =tfrac32,z^2-tfrac916z+tfrac116
Logo
E(z)=1+tfrac32,z^2-tfrac916z+tfrac116 (z-tfrac14)^2(z-1)

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais do resto:
32z^2-916z+116 (z-tfrac14)^2(z-1) =Az-1+Bz-tfrac14+C(z-tfrac14)^2
Igualando numeradores:
tfrac32z^2-tfrac916z+tfrac116 =A,(z-tfrac14)^2+B,(z-1)(z-tfrac14)+C,(z-1),
resolvendo, obtemos
A=tfrac169, B=-tfrac518, C=-tfrac148
Portanto
E(z) =1+tfrac169z-1 -tfrac518z-tfrac14 -tfrac148(z-tfrac14)^2

Passo 4

Agora expandimos cada termo em série de potências para lvert zrvert<tfrac14<1:
  1. O termo constante 1 gera e0[n]=de<a[n].
  2. 16/9z-1 =-169,11-z =-169sumn=0^inftyz^n
  3. -5/18z-tfrac14 =-tfrac518l(-4r)sumn=0^infty(4z)^n =109sumn=0^infty4^n z^n
  4. -1/48(z-tfrac14)^2 =-tfrac148sumn=0^infty(n+1)l(tfrac14r)^-(n+2)z^n =-tfrac13sumn=0^infty(n+1)4^n z^n

Passo 5

Somando todas as contribuições para o coeficiente de z^n (com n>=0):
e[n] =underbrace1- 169-79 +109,4^n -13,(n+1),4^n =-79+l(109-n+13r)4^n
Reescrevendo em forma única:
e[n] =(7-3n),4^n-79, n>=0

Resposta

boxede[n] =(7-3n),4^n-79, n>=0

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