Encontre a transformada Z inversa das expressões abaixo:
D(z)=1(z-1 / 2)(z-1 / 3), |z|>12

Passo 1

O enunciado pede a sequência causal d[n] cuja transformada de Z é
D(z)=1(z-tfrac12)(z-tfrac13),
com região de convergência lvert zrvert > tfrac12.
Para resolver, vamos usar a definição de transformada de Z
D(z)=sumn=0^infty d[n] , z^-n e aproveitar transformadas conhecidas de potências a^n.

Passo 2

Reescrevemos D(z) em função de z^-1. Note que
(z-tfrac12)(z-tfrac13) = z^2l(1-tfrac12,z^-1r)l(1-tfrac13,z^-1r)
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D(z) =1z^2,(1-tfrac12z^-1)(1-tfrac13z^-1) = z^-2,1(1-tfrac12z^-1)(1-tfrac13z^-1)

Passo 3

Fazemos frações parciais em termos de z^-1. Queremos constants A e B tais que
1(1-tfrac12z^-1)(1-tfrac13z^-1) =A1-tfrac12z^-1+B1-tfrac13z^-1
Multiplicando ambos os lados por (1-tfrac12z^-1)(1-tfrac13z^-1) e comparando coeficientes em z^-1
A=-6z, B=6z
Então
D(z) = z^-2l(-6z1-tfrac12z^-1+6z1-tfrac13z^-1r) = -6,z^-11-tfrac12z^-1 ;+;6,z^-11-tfrac13z^-1

Passo 4

Usamos agora a transformada inversa conhecida:
Z^-1ltfracz^-11-a,z^-1r = a^,n-1,u[n-1]
Aplicando a cada termo em D(z), obtemos para n>=1
d[n] =-6l(tfrac12r)^,n-1 ;+;6l(tfrac13r)^,n-1 =6l((tfrac13)^,n-1-(tfrac12)^,n-1r),
e para n<1 d[n]=0.

Resposta

Para todo ninZ:
d[n]= 6l((tfrac13)^,n-1-(tfrac12)^,n-1r),&n>=1, 0,&n<1

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