Numa expansão isotérmica, a 23^{\circ} \mathrm{C}, o volume de 0,01 moles de hidrogênio passou de 0,30 litros para 3,0 litros. Qual a variação de G e a de F ? Qual o trabalho máximo que se pode obter do gás nesta transformação?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo pra a gente não se perder):
n = 0,01\\ \mathrm{mol},\qquad T = 23^\circ\mathrm{C},\qquad V_i = 0,30\\ \mathrm{L},\qquad V_f = 3,0\\ \mathrm{L}.
As perguntas são:
  1. Qual a variação de \,G?
  2. Qual a variação de \,F?
  3. Qual o trabalho máximo que se pode obter do gás nessa transformação?

Passo 2

Primeiro, algumas ideias essenciais (explicadinhas e sem enrolar):
  • Para um gás ideal, a energia interna U depende só da temperatura. Como o processo é isotérmico ( T constante), temos
\Delta U = 0.
  • A entalpia H de um gás ideal também depende só da temperatura, logo
\Delta H = 0.
  • As definições das energias livres são
F = U - TS\quad\text{(energia de Helmholtz)}
G = H - TS\quad\text{(energia de Gibbs)}.
Aplicando variações:
\Delta F = \Delta U - T\Delta S = -T\Delta S,
\Delta G = \Delta H - T\Delta S = -T\Delta S.
Portanto, para esse processo isotérmico de gás ideal:
\Delta F = \Delta G = -T\Delta S.
Vou explicar como calcular \Delta S na sequência.

Passo 3

Cálculo da variação de entropia \Delta S para uma expansão isotérmica reversível:
  • Em um processo reversível isotérmico temos dQ_\text{rev} = PdV e \Delta S = \int \dfrac{dQ_\text{rev}}{T}.
  • Usando a equação do gás ideal P=\dfrac{nRT}{V} e integrando:
\Delta S=\int_{V_i}^{V_f}\frac{PdV}{T}=\int_{V_i}^{V_f}\frac{nR}{V}\,dV=nR\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).

Passo 4

Agora vamos colocar números passo a passo (com cuidado nas unidades):
  • Conversão da temperatura:
T = 23^\circ\mathrm{C} = 23 + 273 = 296\\ \mathrm{K}.
  • Constante dos gases: vou usar \displaystyle R = 8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • Calcular \Delta S:
\Delta S = nR\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right) = 0,01\times 8,314\times \ln\!\left(\frac{3,0}{0,30}\right).
Observação: \dfrac{3,0}{0,30}=10 e \ln(10)=2,302585\ldots. Então
\Delta S = 0,01\times 8,314\times 2,302585\approx 0,19147\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Passo 5

Com \Delta S em mãos, usamos \Delta G=\Delta F=-T\Delta S:
\Delta G = -T\Delta S = -296\times 0,19147\approx -56,66\\ \mathrm{J}.
Arredondando de modo razoável:
\Delta G \approx -56,7\\ \mathrm{J}.
E como \Delta F=\Delta G neste caso,
\Delta F \approx -56,7\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Cálculo do trabalho máximo extraível:
  • O trabalho máximo (mecânico, pressão-volume) que se pode obter corresponde ao trabalho reversível da expansão:
W_{\max}=W_{\text{rev}}=\int_{V_i}^{V_f} P\,dV = nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
  • Já calculamos nR\ln(V_f/V_i) indiretamente ao achar \Delta S. Podemos também escrever
nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right)=T\cdot (nR\ln\!\left(\tfrac{V_f}{V_i}\right)) = T\Delta S.
Como \Delta G = -T\Delta S, segue que
W_{\max} = -\Delta G = -\Delta F.
Numericamente:
W_{\max}=296\times 0,19147\approx 56,66\\ \mathrm{J},
ou seja
W_{\max}\approx 56,7\\ \mathrm{J}.

Resposta

\Delta G = -56,7\\ \mathrm{J}
\Delta F = -56,7\\ \mathrm{J}
W_{\max} = 56,7\\ \mathrm{J}

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