Questão 5. Determine se a função dada é par, impar ou nenhuma das duas.
f(x)=|x|^{3}

Passo 1

O enunciado pede que você determine se a função \,f(x)=|x|^{3}\, é par, ímpar ou nenhuma das duas.
Informações dadas: a função está definida por \,f(x)=|x|^{3}\, para todo \,x\in\mathbb{R}\,.
Pergunta a responder: classificar a função como “par”, “ímpar” ou “nenhuma das duas”.

Passo 2

Definições importantes (vou explicar com calma):
  • Dizemos que uma função f é par se, para todo x no domínio, vale
f(-x)=f(x).
Geometricamente, funções pares são simétricas em relação ao eixo y (reflexão vertical). Exemplo simples: f(x)=x^{2} é par porque (-x)^{2}=x^{2}.
  • Dizemos que f é ímpar se, para todo x no domínio, vale
f(-x)=-f(x).
Geometricamente, funções ímpares são simétricas em relação à origem (rotacionadas 180°). Exemplo simples: f(x)=x^{3} é ímpar porque (-x)^{3}=-x^{3}.

Passo 3

Propriedade do valor absoluto que vamos usar: para todo x\in\mathbb{R} vale
|{-}x|=|x|.
Isso é intuitivo: o valor absoluto remove o sinal, então |2|=2 e |{-}2|=2; em geral |{-}x| e |x| têm a mesma magnitude.

Passo 4

Calcule f(-x) substituindo -x na definição:
f(-x)=|{-}x|^{3}.
Usando a propriedade do passo anterior |{-}x|=|x|, temos
f(-x)=|x|^{3}.
Mas |x|^{3} é exatamente f(x). Portanto, para todo x,
f(-x)=f(x).

Passo 5

Do resultado do passo anterior concluímos que f satisfaz a condição de função par. Ou seja, f é par.
Para reforçar que ela não é ímpar (a definição ímpar exigiria f(-x)=-f(x) para todo x), basta um contraexemplo: tome x=1. Então
f(1)=|1|^{3}=1,\qquad f(-1)=|{-}1|^{3}=1.
Se f fosse ímpar deveríamos ter f(-1)=-f(1), ou seja 1=-1, o que é falso. Logo f não é ímpar.

Resposta

par

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