Questão 5. Determine se a função dada é par, impar ou nenhuma das duas.
Passo 1
O enunciado pede que você determine se a função
é par, ímpar ou nenhuma das duas.
Informações dadas: a função está definida por para todo
.
Pergunta a responder: classificar a função como “par”, “ímpar” ou “nenhuma das duas”.
Informações dadas: a função está definida por
Pergunta a responder: classificar a função como “par”, “ímpar” ou “nenhuma das duas”.
Passo 2
Definições importantes (vou explicar com calma):
- Dizemos que uma função
é par se, para todo no domínio, vale
Geometricamente, funções pares são simétricas em relação ao eixo
(reflexão vertical). Exemplo simples:
é par porque
.
- Dizemos que
é ímpar se, para todo no domínio, vale
Geometricamente, funções ímpares são simétricas em relação à origem (rotacionadas 180°). Exemplo simples:
é ímpar porque
.
Passo 3
Propriedade do valor absoluto que vamos usar: para todo
vale
Isso é intuitivo: o valor absoluto remove o sinal, então
e
; em geral
e
têm a mesma magnitude.
Passo 4
Calcule
substituindo
na definição:
Usando a propriedade do passo anterior
, temos
Mas
é exatamente
. Portanto, para todo
,
Passo 5
Do resultado do passo anterior concluímos que
satisfaz a condição de função par. Ou seja,
é par.
Para reforçar que ela não é ímpar (a definição ímpar exigiria para todo
), basta um contraexemplo: tome
. Então
Para reforçar que ela não é ímpar (a definição ímpar exigiria
Se
fosse ímpar deveríamos ter
, ou seja
, o que é falso. Logo
não é ímpar.
Resposta
par