Questão 5. Determine se a função dada é par, impar ou nenhuma das duas.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a função
é par, ímpar ou nenhuma das duas.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é definida por
. - O domínio de
é o conjunto dos tais que , isto é, para algum .
Passo 2
Relembrando as definições (úteis para a prova):
- Uma função é par se, para todo
do domínio, vale - Uma função é ímpar se, para todo
do domínio, vale
Observação importante: para testar paridade convém verificar primeiro se o domínio é simétrico (ou seja, seestá no domínio então também está). Se o domínio não for simétrico, a função não pode ser classificada como par nem ímpar no sentido clássico.
Passo 3
Vamos calcular
explicitamente a partir da definição
Primeiro use a propriedade da função cosseno: . (Isso decorre da simetria do cosseno no círculo unitário: o ponto associado a
tem a mesma coordenada horizontal que o ponto de
.)
Logo,
Primeiro use a propriedade da função cosseno:
Logo,
Passo 4
Verificamos a simetria do domínio: se
então
, portanto
também pertence ao domínio sempre que
pertence. Assim o domínio é simétrico em relação a zero, condição necessária para comparar
com
.
Passo 5
Como obtivemos
para todo
do domínio, concluímos que
é uma função par. Complemento: não é ímpar, porque para ser ímpar precisaríamos ter
, o que não acontece (a menos de casos degenerados); além disso
não se anula para poder haver coincidência entre as duas propriedades.
Passo 6
Exemplo numérico rápido (ajuda a fixar): tome
. Temos
, então
e
o que confirma na prática que
.
Resposta
par