Questão 5. Determine se a função dada é par, impar ou nenhuma das duas.
f(x)=\operatorname{sec} x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a função \;f(x)=\operatorname{sec} x\; é par, ímpar ou nenhuma das duas.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é definida por \;f(x)=\operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}\;.
  • O domínio de \;f\; é o conjunto dos x tais que \cos x \neq 0, isto é, \;x \neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi\; para algum \;k\in\mathbb{Z}.

Passo 2

Relembrando as definições (úteis para a prova):
  • Uma função é par se, para todo x do domínio, vale \;f(-x)=f(x)\;.
  • Uma função é ímpar se, para todo x do domínio, vale \;f(-x)=-f(x)\;.
    Observação importante: para testar paridade convém verificar primeiro se o domínio é simétrico (ou seja, se x está no domínio então -x também está). Se o domínio não for simétrico, a função não pode ser classificada como par nem ímpar no sentido clássico.

Passo 3

Vamos calcular f(-x) explicitamente a partir da definição \;f(x)=\dfrac{1}{\cos x}\;.
Primeiro use a propriedade da função cosseno: \cos(-x)=\cos x. (Isso decorre da simetria do cosseno no círculo unitário: o ponto associado a -x tem a mesma coordenada horizontal que o ponto de x.)
Logo,
f(-x)=\operatorname{sec}(-x)=\dfrac{1}{\cos(-x)}=\dfrac{1}{\cos x}= \operatorname{sec} x = f(x).

Passo 4

Verificamos a simetria do domínio: se \cos x\neq0 então \cos(-x)=\cos x\neq0, portanto -x também pertence ao domínio sempre que x pertence. Assim o domínio é simétrico em relação a zero, condição necessária para comparar f(-x) com f(x).

Passo 5

Como obtivemos \;f(-x)=f(x)\; para todo x do domínio, concluímos que \;f\; é uma função par. Complemento: não é ímpar, porque para ser ímpar precisaríamos ter \;f(-x)=-f(x)\;, o que não acontece (a menos de casos degenerados); além disso \operatorname{sec} x não se anula para poder haver coincidência entre as duas propriedades.

Passo 6

Exemplo numérico rápido (ajuda a fixar): tome x=\dfrac{\pi}{3}. Temos \cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}, então
\operatorname{sec}\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=2
e
\operatorname{sec}\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)}=\dfrac{1}{\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}=2,
o que confirma na prática que f(-x)=f(x).

Resposta

par

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