A expansão dos poluentes pela atmosfera é governada em parte pelos efeitos dos ventos, mas também pela tendência natural das moléculas em se difundirem. No caso da difusão, o processo depende da distância que uma molécula pode percorrer antes de colidir com outra molécula. Calcule o livre percurso médio das moléculas diatômicas no ar considerando
a
e (a) 10 bar
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Seção eficaz (seção de choque) das moléculas:
. - Temperatura:
. - Pressão pedida:
.
- Seção eficaz (seção de choque) das moléculas:
-
O que o enunciado pede:
- Calcular o livre percurso médio das moléculas diatômicas no ar para a condição (a)
.
- Calcular o livre percurso médio das moléculas diatômicas no ar para a condição (a)
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar.
- O livre percurso médio
é a distância média que uma molécula viaja entre colisões sucessivas. No modelo de esferas rígidas (teoria cinética dos gases) para moléculas idênticas, a expressão padrão é
onde:
-
é o livre percurso médio (m); -
é a densidade numérica de moléculas (número de moléculas por metro cúbico, ); -
é a seção eficaz de colisão entre moléculas ( ); - o fator
aparece porque estamos considerando colisões entre moléculas idênticas (conta-se a probabilidade relativa de encontro).
Passo 3
Expressão para a densidade numérica
usando gás ideal.
- A densidade numérica
para um gás ideal é dada por
onde:
-
é a pressão (Pa); -
é a constante de Boltzmann, ; -
é a temperatura absoluta (K).
Passo 4
Combinar as fórmulas para obter
em termos de
.
- Substituindo
em obtemos
- Nesta forma já vemos que
diminui quando a pressão aumenta (mais colisões) e cresce com a temperatura (moléculas mais espaçadas).
Passo 5
Converter unidades e fixar valores numéricos.
-
Converter
de para : (usei.) -
Temperatura:
corresponde a -
Pressão para o item (a):
. -
Constante de Boltzmann:
Passo 6
Calcular numerador
e denominador
separadamente (conta passo a passo).
- Numerador:
- Denominador:
Passo 7
Dividir numerador por denominador para obter
e converter unidades para nanômetros (unidade mais intuitiva aqui).
- Cálculo:
- Converter para nanômetros (
):
Passo 8
Interpretação rápida e observações finais (estilo amigo e encorajador).
- Resultado: o livre percurso médio é da ordem de poucos nanômetros — bastante pequeno, o que faz sentido em 10 bar (pressão alta → muitas colisões).
- Observações sobre aproximações: usei o modelo de esferas rígidas e o gás ideal; à pressão muito alta ou com interações complexas essas aproximações podem falhar, mas para uma estimativa em gases comuns esse método é o padrão em provas e exercícios.
- Força: já fizemos um passo a passo completo que você pode repetir na prova: escrever a fórmula
, usar , converter unidades e calcular.