A expansão dos poluentes pela atmosfera é governada em parte pelos efeitos dos ventos, mas também pela tendência natural das moléculas em se difundirem. No caso da difusão, o processo depende da distância que uma molécula pode percorrer antes de colidir com outra molécula. Calcule o livre percurso médio das moléculas diatômicas no ar considerando \sigma=0,43 \mathrm{~nm}^{2} a 25^{\circ} \mathrm{C} e (a) 10 bar

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Seção eficaz (seção de choque) das moléculas: \sigma = 0{,}43\\ \mathrm{nm}^2.
    • Temperatura: 25^\circ\mathrm{C}.
    • Pressão pedida: (\text{a})\\\ 10\\ \mathrm{bar}.
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular o livre percurso médio das moléculas diatômicas no ar para a condição (a) 10\\ \mathrm{bar}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar.
  • O livre percurso médio \lambda é a distância média que uma molécula viaja entre colisões sucessivas. No modelo de esferas rígidas (teoria cinética dos gases) para moléculas idênticas, a expressão padrão é
\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}\,n\,\sigma},
onde:
  • \lambda é o livre percurso médio (m);
  • n é a densidade numérica de moléculas (número de moléculas por metro cúbico, \mathrm{m}^{-3});
  • \sigma é a seção eficaz de colisão entre moléculas ( \mathrm{m}^2);
  • o fator \sqrt{2} aparece porque estamos considerando colisões entre moléculas idênticas (conta-se a probabilidade relativa de encontro).

Passo 3

Expressão para a densidade numérica n usando gás ideal.
  • A densidade numérica n para um gás ideal é dada por
n=\frac{p}{k_B T},
onde:
  • p é a pressão (Pa);
  • k_B é a constante de Boltzmann, k_B = 1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K};
  • T é a temperatura absoluta (K).

Passo 4

Combinar as fórmulas para obter \lambda em termos de p,\\ T,\\ \sigma.
  • Substituindo n em \lambda=\dfrac{1}{\sqrt{2} n \sigma} obtemos
\lambda=\frac{1}{\sqrt{2}\,\sigma}\cdot\frac{1}{n}=\frac{1}{\sqrt{2}\,\sigma}\cdot\frac{k_B T}{p}=\frac{k_B T}{\sqrt{2}\,p\,\sigma}.
  • Nesta forma já vemos que \lambda diminui quando a pressão aumenta (mais colisões) e cresce com a temperatura (moléculas mais espaçadas).

Passo 5

Converter unidades e fixar valores numéricos.
  • Converter \sigma de \mathrm{nm}^2 para \mathrm{m}^2:
    \sigma = 0{,}43\\ \mathrm{nm}^2 = 0{,}43\times10^{-18}\\ \mathrm{m}^2 = 4{,}3\times10^{-19}\\ \mathrm{m}^2.
    (usei 1\\ \mathrm{nm}^2 = 10^{-18}\\ \mathrm{m}^2.)
  • Temperatura: 25^\circ\mathrm{C} corresponde a
    T = 25 + 273{,}15 = 298{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Pressão para o item (a): 10\\ \mathrm{bar}.
    1\\ \mathrm{bar}=10^{5}\\ \mathrm{Pa}\quad\Rightarrow\quad p=10\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}=1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Constante de Boltzmann:
    k_B = 1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}.

Passo 6

Calcular numerador k_B T e denominador \sqrt{2}\,p\,\sigma separadamente (conta passo a passo).
  • Numerador: k_B T = (1{,}380649\times10^{-23})\cdot(298{,}15)
k_B T \approx 4{,}116405\times10^{-21}\\ \mathrm{J} \quad(\text{ou em unidades SI numéricas}).é
  • Denominador: \sqrt{2}\,p\,\sigma \approx 1{,}41421356 \times (1{,}0\times10^{6}) \times (4{,}3\times10^{-19})
\sqrt{2}\,p\,\sigma \approx 1{,}41421356 \times 4{,}3\times10^{-13}
\sqrt{2}\,p\,\sigma \approx 6{,}0811183\times10^{-13}\\ \mathrm{(SI)}.

Passo 7

Dividir numerador por denominador para obter \lambda e converter unidades para nanômetros (unidade mais intuitiva aqui).
  • Cálculo: \lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2}\,p\,\sigma} \approx \frac{4{,}116405\times10^{-21}}{6{,}0811183\times10^{-13}}
\lambda \approx 6{,}76836\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.
  • Converter para nanômetros ( 1\\ \mathrm{nm}=10^{-9}\\ \mathrm{m}): \lambda \approx 6{,}77\\ \mathrm{nm}.

Passo 8

Interpretação rápida e observações finais (estilo amigo e encorajador).
  • Resultado: o livre percurso médio é da ordem de poucos nanômetros — bastante pequeno, o que faz sentido em 10 bar (pressão alta → muitas colisões).
  • Observações sobre aproximações: usei o modelo de esferas rígidas e o gás ideal; à pressão muito alta ou com interações complexas essas aproximações podem falhar, mas para uma estimativa em gases comuns esse método é o padrão em provas e exercícios.
  • Força: já fizemos um passo a passo completo que você pode repetir na prova: escrever a fórmula \lambda=1/(\sqrt{2}n\sigma), usar n=p/(k_BT), converter unidades e calcular.

Resposta

\lambda \approx 6{,}77\\ \mathrm{nm}

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