Em que pressão o livre percurso médio do argônio, a
, torna-se comparável a 10 vezes o diâmetro dos próprios átomos? Considere
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a pressão em que o livre percurso médio do argônio, à
, torna-se comparável a 10 vezes o diâmetro dos próprios átomos. Informações fornecidas e constantes que vamos usar:
- Temperatura:
. - Seção de choque (cruz de colisão) dada:
. - Queremos o caso em que o livre percurso médio
satisfaz , onde é o diâmetro do átomo. - Constante de Boltzmann:
.
Passo 2
Explicar a relação entre a seção de choque
e o diâmetro atômico
.
- Para esferas rígidas idênticas a seção de choque geométrica vale
- Assim o diâmetro é
Vamos usar
dada para calcular
. Primeiro converter
para unidades SI:
Agora calcular
:
Passo 3
Calcular numericamente o diâmetro
(contando todos os passos aritméticos).
- Divisão dentro da raiz:
- Raiz quadrada:
Mais direto, avaliando numericamente:
Portanto
E
Passo 4
Apresentar a fórmula do livre percurso médio e conectar com a pressão.
- Na teoria cinética dos gases, para partículas com seção de choque
e densidade numérica vale
Aqui
é o livre percurso médio,
é o número de partículas por volume (
) e o fator
aparece porque ambas as partículas em colisão se movem (para esferas idênticas).
- Usando a equação dos gases ideais relacionamos
e a pressão :
- Substituindo em
e isolando obtemos:
Todas as variáveis estão definidas:
(constante de Boltzmann),
(temperatura),
(seção de choque),
(livre percurso desejado).
Passo 5
Substituir valores numéricos e calcular
passo a passo.
- Numerador:
- Denominador:
Calcular produto dentro:
Multiplicando por
:
- Assim a pressão:
Passo 6
Converter o resultado para unidades práticas (atm e bar) e interpretar o valor.
- Em atmosferas:
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- Em bars (
):
Interpretação rápida (para motivar): é uma pressão bem maior que a atmosférica — faz sentido, porque reduzir o livre percurso médio até apenas algumas nanometros exige aumentar muito a densidade de partículas.