Em que pressão o livre percurso médio do argônio, a 25^{\circ} \mathrm{C}, torna-se comparável a 10 vezes o diâmetro dos próprios átomos? Considere \sigma=0,36 \mathrm{~nm}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a pressão em que o livre percurso médio do argônio, à 25^\circ\mathrm{C}, torna-se comparável a 10 vezes o diâmetro dos próprios átomos. Informações fornecidas e constantes que vamos usar:
  • Temperatura: T=25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Seção de choque (cruz de colisão) dada: \sigma=0{,}36\\ \mathrm{nm}^2.
  • Queremos o caso em que o livre percurso médio \lambda satisfaz \lambda = 10\,d, onde d é o diâmetro do átomo.
  • Constante de Boltzmann: k_B=1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}.

Passo 2

Explicar a relação entre a seção de choque \sigma e o diâmetro atômico d.
  • Para esferas rígidas idênticas a seção de choque geométrica vale
\sigma=\pi d^{2}.
  • Assim o diâmetro é
d=\sqrt{\frac{\sigma}{\pi}}.
Vamos usar \sigma dada para calcular d. Primeiro converter \sigma para unidades SI:
\sigma=0{,}36\\ \mathrm{nm}^2 = 0{,}36\times10^{-18}\\ \mathrm{m}^2 = 3{,}6\times10^{-19}\\ \mathrm{m}^2.
Agora calcular d:
d=\sqrt{\frac{3{,}6\times10^{-19}}{\pi}}.

Passo 3

Calcular numericamente o diâmetro d (contando todos os passos aritméticos).
  • Divisão dentro da raiz:
\frac{3{,}6\times10^{-19}}{\pi}\approx\frac{3{,}6}{3{,}14159265}\times10^{-19}\approx1{,}146\times10^{-19}.
  • Raiz quadrada:
d=\sqrt{1{,}146\times10^{-19}}\approx1{,}070\times10^{-9{,}5}\\ \mathrm{m}.
Mais direto, avaliando numericamente:
d\approx3{,}385\times10^{-10}\\ \mathrm{m}=0{,}3385\\ \mathrm{nm}.
Portanto
d\approx3{,}385\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
E
\lambda=10\,d\approx3{,}385\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Apresentar a fórmula do livre percurso médio e conectar com a pressão.
  • Na teoria cinética dos gases, para partículas com seção de choque \sigma e densidade numérica n vale
\lambda=\frac{1}{\sqrt{2}\,n\,\sigma}.
Aqui \lambda é o livre percurso médio, n é o número de partículas por volume ( \mathrm{m}^{-3}) e o fator \sqrt{2} aparece porque ambas as partículas em colisão se movem (para esferas idênticas).
  • Usando a equação dos gases ideais relacionamos n e a pressão P:
n=\frac{P}{k_B T}.
  • Substituindo em \lambda e isolando P obtemos:
\lambda=\frac{1}{\sqrt{2}\,\sigma}\cdot\frac{k_B T}{P} \quad\Rightarrow\quad P=\frac{k_B T}{\sqrt{2}\,\sigma\,\lambda}.
Todas as variáveis estão definidas: k_B (constante de Boltzmann), T (temperatura), \sigma (seção de choque), \lambda (livre percurso desejado).

Passo 5

Substituir valores numéricos e calcular P passo a passo.
  • Numerador:
k_B T = 1{,}380649\times10^{-23}\times298{,}15 \approx 4{,}1152\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.
  • Denominador:
\sqrt{2}\,\sigma\,\lambda = 1{,}41421356\times(3{,}6\times10^{-19})\times(3{,}385\times10^{-9}).
Calcular produto dentro:
3{,}6\times10^{-19}\times3{,}385\times10^{-9}=12{,}186\times10^{-28}=1{,}2186\times10^{-27}.
Multiplicando por \sqrt{2}:
\sqrt{2}\,\sigma\,\lambda \approx1{,}41421356\times1{,}2186\times10^{-27}\approx1{,}7241\times10^{-27}\\ \mathrm{m}^2.
  • Assim a pressão:
P=\frac{4{,}1152\times10^{-21}}{1{,}7241\times10^{-27}}\\ \mathrm{Pa}\approx2{,}387\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Converter o resultado para unidades práticas (atm e bar) e interpretar o valor.
  • Em atmosferas:
1\\ \mathrm{atm}=1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},
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P\approx\frac{2{,}387\times10^{6}}{1{,}01325\times10^{5}}\approx23{,}6\\ \mathrm{atm}.
  • Em bars ( 1\\ \mathrm{bar}=10^{5}\\ \mathrm{Pa}):
P\approx23{,}87\\ \mathrm{bar}.
Interpretação rápida (para motivar): é uma pressão bem maior que a atmosférica — faz sentido, porque reduzir o livre percurso médio até apenas algumas nanometros exige aumentar muito a densidade de partículas.

Resposta

P\approx2{,}39\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}\approx23{,}6\\ \mathrm{atm}

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