1. (Expansão Térmica em um Projeto Estrutural) A expansão de uma barra metálica devido à temperatura é descrita por
L(T)=L0(1+0,0001 T^2),
onde L(T) é o comprimento da barra em milímetros a uma temperatura T em graus Celsius.
a) Explique como a derivada da função de comprimento ajuda a prever o comportamento do material em temperaturas extremas.
b) Um engenheiro precisa escolher um material para uma ponte metálica em uma região de grande variação térmica. Como a análise da taxa de expansão influencia essa decisão?

Passo 1

O enunciado dá a lei de expansão térmica de uma barra metálica
L(T)=L0l(1+0,0001,T^2r)
onde L(T) é o comprimento em milímetros e T é a temperatura em graus Celsius. O conteúdo envolvido é cálculo de derivada para obter a taxa de variação de L em relação a T.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de L(T) em relação a T:
L'(T)=ddTl[L0(1+0,0001,T^2)r] = L0cdotddT(1+0,0001,T^2) = L0cdot(2cdot0,0001,T) = L0,0,0002,T

Passo 3

A derivada L'(T) representa a taxa de expansão (ou contração) por grau Celsius. Para temperaturas extremas temos:
  • Para T>0, L'(T)>0 e cresce linearmente com T: a barra expande mais rápido à medida que a temperatura sobe.
  • Para T<0, L'(T)<0, indicando contração, e a magnitude lvert L'(T)rvert também cresce à medida que lvert Trvert cresce.
    Assim, conhecendo L'(T) podemos prever quanto a barra muda de comprimento ao variar a temperatura, especialmente em T muito altos ou muito baixos.

Passo 4

Na escolha de material para uma ponte com grande variação térmica, o engenheiro compara coeficientes de expansão de diferentes ligas (ou seja, compara funções análogas a L'(T)):
  • Um material com taxa de expansão menor (coeficiente térmico mais baixo) terá L'(T) menor em todo o intervalo de T, reduzindo folgas, fendas ou tensões internas.
  • Já um material com L'(T) alto pode sofrer dilatações grandes e rápidas, exigindo juntas de dilatação maiores e aumentando o risco de danos estruturais.

Resposta

a) A derivada
L'(T)=L0,0,0002,T
dá a taxa de variação do comprimento por grau Celsius. Ela permite prever quanto a barra expande ou contrai em temperaturas extremas, indicando que a expansão cresce linearmente com T.
b) Na decisão de material, escolhe-se aquele com menor taxa de expansão (menor coeficiente térmico), pois isso minimiza variações de comprimento, folgas e tensões na estrutura ao longo da faixa térmica da ponte.

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