- (Expansão Térmica em um Projeto Estrutural) A expansão de uma barra metálica devido à temperatura é descrita por
onde
é o comprimento da barra em milímetros a uma temperatura
em graus Celsius.
a) Explique como a derivada da função de comprimento ajuda a prever o comportamento do material em temperaturas extremas.
b) Um engenheiro precisa escolher um material para uma ponte metálica em uma região de grande variação térmica. Como a análise da taxa de expansão influencia essa decisão?
a) Explique como a derivada da função de comprimento ajuda a prever o comportamento do material em temperaturas extremas.
b) Um engenheiro precisa escolher um material para uma ponte metálica em uma região de grande variação térmica. Como a análise da taxa de expansão influencia essa decisão?
Passo 1
O enunciado dá a lei de expansão térmica de uma barra metálica
onde
é o comprimento em milímetros e
é a temperatura em graus Celsius. O conteúdo envolvido é cálculo de derivada para obter a taxa de variação de
em relação a
.
Passo 2
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 3
A derivada
representa a taxa de expansão (ou contração) por grau Celsius. Para temperaturas extremas temos:
- Para
, e cresce linearmente com : a barra expande mais rápido à medida que a temperatura sobe. - Para
, , indicando contração, e a magnitude também cresce à medida que cresce.
Assim, conhecendopodemos prever quanto a barra muda de comprimento ao variar a temperatura, especialmente em muito altos ou muito baixos.
Passo 4
Na escolha de material para uma ponte com grande variação térmica, o engenheiro compara coeficientes de expansão de diferentes ligas (ou seja, compara funções análogas a
):
- Um material com taxa de expansão menor (coeficiente térmico mais baixo) terá
menor em todo o intervalo de , reduzindo folgas, fendas ou tensões internas. - Já um material com
alto pode sofrer dilatações grandes e rápidas, exigindo juntas de dilatação maiores e aumentando o risco de danos estruturais.
Resposta
a) A derivada
dá a taxa de variação do comprimento por grau Celsius. Ela permite prever quanto a barra expande ou contrai em temperaturas extremas, indicando que a expansão cresce linearmente com
.
b) Na decisão de material, escolhe-se aquele com menor taxa de expansão (menor coeficiente térmico), pois isso minimiza variações de comprimento, folgas e tensões na estrutura ao longo da faixa térmica da ponte.
b) Na decisão de material, escolhe-se aquele com menor taxa de expansão (menor coeficiente térmico), pois isso minimiza variações de comprimento, folgas e tensões na estrutura ao longo da faixa térmica da ponte.