Questão 4.

Resolva o problema de valor inicial abaixo via transformada de Laplace
y^prime prime-4 y=t e^t, y(0)=y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y'' - 4y = t,e^t, y(0)=0,;y'(0)=0
O conteúdo é transformada de Laplace: vamos transformar ambos os lados em função de s, resolver para Y(s)=Ly(t) e depois aplicar a transformada inversa.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em cada termo usando
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)=s^2Y(s) e
Ly=Y(s), obtemos
s^2Y(s)-4Y(s)=Lt e^t=1(s-1)^2
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Y(s)l(s^2-4r)=1(s-1)^2 Longrightarrow Y(s)=1(s-2)(s+2)(s-1)^2

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais
1(s-2)(s+2)(s-1)^2 =As-2+Bs+2+Cs-1+D(s-1)^2
Multiplicando por (s-2)(s+2)(s-1)^2 e igualando em valores especiais:
  • Para s=2: 1=Acdot4 Rightarrow A=tfrac14.
  • Para s=-2: 1=Bcdot(-4)cdot9 Rightarrow B=-tfrac136.
  • Para s=1: 1=Dcdot(-1)cdot3 Rightarrow D=-tfrac13.
    Para achar C, podemos fazer s=0:
1=tfrac14cdot2+l(-tfrac136r)cdot(-2) +4C+l(-tfrac13r)cdot(-4) ;Longrightarrow;C=-tfrac29
Então
Y(s)=1/4s-2-1/36s+2-2/9s-1-1/3(s-1)^2

Passo 4

Aplicando a transformada inversa termo a termo, lembrando
L^-1ltfrac1s-ar=e^at e
L^-1ltfrac1(s-a)^2r=t,e^at, temos
y(t) =tfrac14,e^2t -tfrac136,e^-2t -tfrac29,e^t -tfrac13,t,e^t

Resposta

y(t)=14e^2t-136e^-2t-29e^t-13,t,e^t

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