Numa experiência biológica, para a qual a escolha das cobaias é bastante dispendiosa, verifica-se, que a experiência é bem sucedida em
dos casos.
Quantas cobaias serão necessárias para garantir que a probabilidade de obter pelo menos uma experiência com sucesso não seja inferior a 0,95 ?
Quantas cobaias serão necessárias para garantir que a probabilidade de obter pelo menos uma experiência com sucesso não seja inferior a 0,95 ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- Probabilidade de sucesso em cada experiência (cada cobaia):
. - Queremos escolher um número inteiro de cobaias
tal que a probabilidade de obter pelo menos uma experiência com sucesso seja pelo menos .
Pergunta: Quantas cobaias
são necessárias para garantir
?
Passo 2
Modelo probabilístico e ideia principal (explicação didática e por que usamos isso).
- Cada cobaia é uma tentativa independente com probabilidade de sucesso
. Chama-se isso de ensaios de Bernoulli independentes. - A probabilidade de “pelo menos um sucesso em
tentativas” é mais fácil de calcular pelo complemento: primeiro calculamos a probabilidade de “nenhum sucesso” (todas fracassos) e subtraímos de 1. - Se a probabilidade de sucesso em uma tentativa é
, a probabilidade de fracasso é . Se as tentativas são independentes, a probabilidade de todas falharem é . - Logo,
Passo 3
Escrever a desigualdade que garante o requisito do enunciado e substituir
.
Queremos
Substituindo
(logo
),
Passo 4
Manipular a desigualdade para isolar
.
Da desigualdade anterior,
Agora vamos resolver
para
. Para isso aplicamos o logaritmo natural (ou qualquer log) em ambos os lados. Lembre que ao aplicar logaritmo e dividir por um número negativo a desigualdade se inverte; aqui
.
Aplicando
:
Como
, dividindo por
invertemos a desigualdade:
Passo 5
Calcular numericamente o lado direito e interpretar.
Calculemos os logaritmos (valores aproximados):
Portanto
Logo devemos ter
.
Passo 6
Escolher
inteiro mínimo (arredondamento) e justificar.
-
deve ser um número inteiro (não faz sentido ter uma fração de cobaia). - Como
precisa ser maior ou igual a , o menor inteiro que satisfaz isso é . - Assim, a menor quantidade de cobaias que garante a probabilidade desejada é
.
Passo 7
Verificação direta para ter certeza (checar
e
).
- Para
: (menor que ). - Para
: (cumpre ).
Portanto
é realmente o mínimo que funciona.
Passo 8
Resumo final e palavra de incentivo breve.
- Concluímos que são necessárias
cobaias para garantir que a probabilidade de obter pelo menos um sucesso seja pelo menos . - Boa! Você já sabe aplicar o complemento e usar logaritmos para esse tipo de problema — é um truque muito útil em provas.