Numa experiência biológica, para a qual a escolha das cobaias é bastante dispendiosa, verifica-se, que a experiência é bem sucedida em 40 \% dos casos.
Quantas cobaias serão necessárias para garantir que a probabilidade de obter pelo menos uma experiência com sucesso não seja inferior a 0,95 ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Probabilidade de sucesso em cada experiência (cada cobaia): \,p=0,4.
  • Queremos escolher um número inteiro de cobaias n tal que a probabilidade de obter pelo menos uma experiência com sucesso seja pelo menos \,0,95.
Pergunta: Quantas cobaias n são necessárias para garantir \,P(\text{pelo menos 1 sucesso}) \ge 0,95?

Passo 2

Modelo probabilístico e ideia principal (explicação didática e por que usamos isso).
  • Cada cobaia é uma tentativa independente com probabilidade de sucesso \,p=0,4. Chama-se isso de ensaios de Bernoulli independentes.
  • A probabilidade de “pelo menos um sucesso em n tentativas” é mais fácil de calcular pelo complemento: primeiro calculamos a probabilidade de “nenhum sucesso” (todas fracassos) e subtraímos de 1.
  • Se a probabilidade de sucesso em uma tentativa é \,p, a probabilidade de fracasso é \,1-p. Se as tentativas são independentes, a probabilidade de todas n falharem é (1-p)^n.
  • Logo,
P(\text{pelo menos 1 sucesso}) = 1 - (1-p)^n.

Passo 3

Escrever a desigualdade que garante o requisito do enunciado e substituir p=0,4.
Queremos
1-(1-p)^n \ge 0,95.
Substituindo p=0,4 (logo 1-p=0,6),
1-0,6^{n} \ge 0,95.

Passo 4

Manipular a desigualdade para isolar n.
Da desigualdade anterior,
1-0,6^{n} \ge 0,95 \quad\Longrightarrow\quad 0,6^{n} \le 1-0,95 = 0,05.
Agora vamos resolver 0,6^{n} \le 0,05 para n. Para isso aplicamos o logaritmo natural (ou qualquer log) em ambos os lados. Lembre que ao aplicar logaritmo e dividir por um número negativo a desigualdade se inverte; aqui \ln(0,6)<0.
Aplicando \ln:
\ln(0,6^{n}) \le \ln(0,05) \quad\Rightarrow\quad n\ln(0,6) \le \ln(0,05).
Como \ln(0,6)<0, dividindo por \ln(0,6) invertemos a desigualdade:
n \ge \frac{\ln(0,05)}{\ln(0,6)}.

Passo 5

Calcular numericamente o lado direito e interpretar.
Calculemos os logaritmos (valores aproximados):
\ln(0,05)\approx -2{,}995732,\qquad \ln(0,6)\approx -0{,}5108256.
Portanto
\frac{\ln(0,05)}{\ln(0,6)} \approx \frac{-2{,}995732}{-0{,}5108256} \approx 5{,}865\ldots
Logo devemos ter n \ge 5{,}865\ldots.

Passo 6

Escolher n inteiro mínimo (arredondamento) e justificar.
  • n deve ser um número inteiro (não faz sentido ter uma fração de cobaia).
  • Como n precisa ser maior ou igual a 5{,}865\ldots, o menor inteiro que satisfaz isso é n=6.
  • Assim, a menor quantidade de cobaias que garante a probabilidade desejada é 6.

Passo 7

Verificação direta para ter certeza (checar n=5 e n=6).
  • Para n=5: P(\text{pelo menos 1 sucesso}) = 1-0,6^{5} = 1-0,07776 = 0,92224 (menor que 0,95).
  • Para n=6: P(\text{pelo menos 1 sucesso}) = 1-0,6^{6} = 1-0,046656 = 0,953344 (cumpre \ge 0,95).
Portanto n=6 é realmente o mínimo que funciona.

Passo 8

Resumo final e palavra de incentivo breve.
  • Concluímos que são necessárias 6 cobaias para garantir que a probabilidade de obter pelo menos um sucesso seja pelo menos 0,95.
  • Boa! Você já sabe aplicar o complemento e usar logaritmos para esse tipo de problema — é um truque muito útil em provas.

Resposta

6 cobaias.

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