Numa experiência biológica, para a qual a escolha das cobaias é bastante dispendiosa, verifica-se, que a experiência é bem sucedida em 40 \% dos casos.
Qual a probabilidade de ter que realizar 3 experiências até obter uma com sucesso?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A probabilidade de uma experiência ser bem sucedida é \,0{,}40.
  • As experiências são realizadas repetidamente até obter o primeiro sucesso.
    A pergunta é: qual a probabilidade de ter que realizar exatamente 3 experiências até obter a primeira com sucesso?

Passo 2

Interpretação do que significa “ter que realizar exatamente 3 experiências até obter um sucesso”.
  • Isso significa que as duas primeiras experiências falham e a terceira tem sucesso.
  • Vou usar a regra de probabilidade para eventos independentes: se dois (ou mais) eventos ocorrem em sequência e são independentes, a probabilidade da sequência inteira ocorrer é o produto das probabilidades de cada evento na sequência.

Passo 3

Definições e notação (explicação didática, passo a passo):
  • Seja p a probabilidade de sucesso em uma única experiência. Aqui p=\(0{,}40).
  • A probabilidade de fracasso em uma única experiência é 1-p. Aqui 1-p=\(0{,}60).
  • Queremos a probabilidade de ocorrer a sequência: fracasso, fracasso, sucesso.
  • Pela regra do produto para eventos independentes, a probabilidade dessa sequência é (1-p)\cdot(1-p)\cdot p = (1-p)^2 p.
    Essa fórmula também é a expressão do que se chama distribuição geométrica (onde se conta o número de tentativas até o primeiro sucesso), mas aqui basta entender que multiplicamos as probabilidades das ocorrências sucessivas.

Passo 4

Aplicar a fórmula com os números dados:
p = 0{,}40,\qquad 1-p = 0{,}60.
Logo
\text{Probabilidade} = (1-p)^2 p = (0{,}60)^2 \cdot 0{,}40.

Passo 5

Calcular sem calculadora, passo a passo (mostrando também em fração para facilitar):
  • Em frações: p=\dfrac{2}{5} e 1-p=\dfrac{3}{5}.
(1-p)^2 p = \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{9}{25}\cdot\dfrac{2}{5} = \dfrac{18}{125}.
  • Em decimal:
(0{,}60)^2 = 0{,}36,\qquad 0{,}36\cdot 0{,}40 = 0{,}144.
Portanto o resultado é \dfrac{18}{125} ou \,0{,}144.

Passo 6

Interpretação final (para ficar bem claro): há \,14{,}4\% de chance de que as duas primeiras experiências falhem e a terceira seja a primeira com sucesso. Se precisar memorizar um padrão: para “primeiro sucesso no n-ésimo teste” use (1-p)^{n-1}p.

Resposta

\dfrac{18}{125}=0{,}144

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